Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

Следовательно, по классической электронной теории, отношение коэффициента теплопроводности металлов к их коэффициенту элек­ тропроводности должно быть одинаковым для всех металлов и должно линейно зависеть от температуры.

Такое отношение х к а известно было ранее из опыта, как закон Видемана—Франца. В середине XIX в. Видеман и Франц экспери­ ментально установили, что отношение х к а примерно одинаково для всех металлов и изменяется пропорционально абсолютной тем­ пературе.

Поскольку выражение (4.2.4) достаточно хорошо согласовалось с опытом, постольку, казалось бы, классическая электронная тео­ рия Друде получила здесь хорошее подтверждение. Однако, как уже говорилось в § 4.1, более точные расчеты Лоренца, в рамках классической теории, привели к другому выражению закона Ви­ демана—Франца:

-£- = 2 Т, (4.2.5)

которое уже хуже согласовалось с Опытом.

Позже квантовая теория металлов позволила более строго полу­

которое еще точнее, чем (4.2.4), согласовалось с экспериментом.

Из сравнения (4.2.6) с (4.2.4) можно заключить, что поскольку д2

численный коэффициент — близок к значению 3, постольку не- 3

точная классическая теория привела к формуле закона Видемана— Франца, хорошо согласующейся с экспериментом.

Таким образом, только квантовая теория металлов правильно оценила влияние электронов на процессы электропроводности и теплопроводности металлов.

4.2.2. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ И ЗАКОН ДЮЛОНГА И ПТИ

Еще в начале XIX в. Дюлонг и Пти установили на опыте, что атомная теплоемкость одноатомных твердых тел при постоянном объеме примерно одинакова для всех твердых тел и равна

2,5-104----------- . Однако уже при комнатной температуре для

град-моль

ряда твердых тел (например, алмаза, бора) наблюдалось значитель-

,ное отступление от этого закона. На опыте также оказалось, что при понижении температуры до абсолютного нуля теплоемкость cV|i стремится к нулю.

Классическая теория теплоемкости твердых тел рассматривала их как однородную совокупность практически не взаимодействую­

106

щих частиц, которые колеблются с одинаковой частотой v. Если учесть, что на каждую колебательную степень свободы в среднем

— /сТ за счет потенциальной энергииj , то средняя энергия колеб­

лющейся частицы оказывается "равной

3 X кТ = 3 кТ.

Соответственно энергия одного моля твердого тела, содержащего

Отсюда молекулярная или атомная теплоемкость CVll твердого тела принимает значение

Казалось бы, что классическая теория хорошо объясняла закон Дюлонга и Пти, однако по (4.2.7) теплоемкость cVfl не зависела от температуры, а это противоречило опыту. Кроме того, как уже ука­ зывалось, для таких веществ, как алмаз и бор, этот закон не выпол­ нялся уже при обычных комнатных температурах. К недостаткам классической теории теплоемкости твердых тел в первую очередь необходимо отнести то, что атомы твердого тела не являются неза­ висимыми частицами, колеблющимися с одинаковой частотой. На самбм деле, атомы твердого тела связаны друг с другом сильными связями и для такой системы частиц (атомов) будет иметь место целый спектр колебательных частот от со = 0 до какой-то макси­ мальной частоты со = (»max — сот , определяемой размерами кри­ сталла. С другой стороны, если рассматривать колеблющийся атом как осциллятор, то это должен быть не классический осциллятор с непрерывным энергетическим спектром, а осциллятор квантовый, энергетический спектр которого дискретный, а его средняя энергия должна определяться формулой Планка

107

Формула (4.2.9) может быть получена при помощи следующих несложных рассуждений. Дискретные энергетические уровни гар­ монического осциллятора, по квантовой теории, можно задать со­ отношением

Е п= n/ijw (/гхсо — h!2n ■2nv = hv),

где число п — называется квантовым числом и принимает целые значения. Такая запись означает, что энергетические уровни осцил­ лятора распределены равномерно и отстоят друг от друга по энер­ гии на расстоянии Нг(о. В случае термодинамического равновесия вероятность того, что осциллятор имеет энергию Е „— nhxсо, будет про­ порциональна ехр(— E JkT ), т. е. функции больцмановского распре­ деления (см. § 1.2). Поэтому средняя энергия осциллятора, опреде­ ляемая по правилу вычисления средних величин, запишется в виде:

2 Е пе - Еп>кт 2 > п е-пх

Е = - ^ ------------- = /гх£0 —--------- , ^ е-Еп!кт

п п

где х — h^lkT . Используя правило дифференцирования натураль­ ного логарифма, можно записать:

Отсюда искомая средняя энергия осциллятора будет равна

£ ___________

_ ehla ;k T _ l '

т. е. и получаем (4.2.9).

Первым шагом на пути преодоления указанных недостатков классической теории была квантовая теория теплоемкости твердых тел, предложенная Эйнштейном в 1905 г. По Эйнштейну, твердое тело также рассматривалось как совокупность N независимых атомов, колеблющихся с одной и той же частотой v, но для средней энергии атома (осциллятора) использовалась формула (4.2.9).

Следовательно, по теории Эйнштейна, средняя энергия грамматома твердого тела, обладающего тремя степенями свободы, будет

Если теперь ввести в рассмотрение характеристическую темпе­ ратуру 8 = hxdilk, то (4.2.10) можно переписать в виде:

108

I

Отсюда, дифференцируя (4.2.11) по температуре, получим формулу для теплоемкости cVll:

Легко видеть, что формула (4.2.12) является более точной, чем (4.2.8), так как в ней уже учитывается зависимость cVtl от темпера­ туры, и, кроме того, формула (4.2.8) является предельным, или част­ ным, случаем формулы (4.2.12).

В самом деле, в случае высоких температур (770 > 1, а 0 Т) множитель

Поэтому формально имеется качественное согласие формулы Эйнштейна с опытом, так как при высоких температурах'выпол­ няется закон Дюлонга и Пти.

С другой стороны, в предельном случае очень низких темпера­

Тогда при стремлении температуры к абсолютному нулю (Т -> 0)

Необходимо заметить, что, несмотря на качественное согласие теории Эйнйггейна с опытом, количественное расхождение было значительным и особенно в области низких температур. Поэтому Дебай предпринял дальнейшее уточнение теории. Он учел и то об­ стоятельство, что атомы твердого тела образуют связанную систему. В случае N атомов в такой системе, имеющей 37V степеней свободы, возникает 3N независимых колебаний, имеющих различные ча­ стоты. Эти собственные колебания решетки тела, соответствующие звуковым частотам, как уже говорилось, в п. 4.1.3, были названы

фононами.

При построении своей теории Дебай в первую очередь опреде­ лил число собственных, или нормальных, колебаний твердого тела

109