Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

этих ионов чисто электростатическое и подчиняется закону Ку­ лона. По порядку величины энергия взаимодействия ионной связи будет

VNaCl — 105 дж1моль.

Следовательно, такая энергия будет на два порядка выше энергии взаимодействия Ван-дер-Ваальса.

Атомная, или обменная, связь. Такая связь еще называется валентной и определяет устойчивость таких соединений, как Н 2 и 0 2, а также связи в атомных решетках типа алмаза.

Возникновение сил притяжения в этом случае объясняется уменьшением энергии системы по сравнению с суммой энергий сво­ бодных атомов. Энергия взаимодействия при обменных связях также будет порядка 105 дж/моль, т. е.

Кобм ~ 10г> дж/моль.

Металлическая связь. Металлическое состояние нельзя объяс­ нить атомной или ионной связью. Возникает металлическая связь за счет обобществления свободных электронов, за счет взаимодей­ ствия положительных ионов решетки металла с электронным га­ зом. Электроны, расположенные между ионами решетки, как бы «стягивают» их, стремясь уравновесить силы отталкивания. Ре­ шетка устойчива в том случае, когда силы притяжения уравнове­ шивают силы отталкивания. Энергия взаимодействия в этом случае также будет порядка 105 дж/моль.

Сопоставим рассмотренные различные виды связи.

Связь за счет сил Ван-дер-Ваальса является по энергии самой слабой связью, однако она наиболее универсальна. В чистом виде она проявляется в нейтральных атомах и молекулах, имеющих за­ полненные оболочки. Эта связь определяет существование жидкого и твердого состояния у инертных газов.

Ионная связь — типичная химическая связь среди неоргани­ ческих соединений. Энергия взаимодействия изменяется от

105 дж/моль (КС1) до 1,5-107 дж/моль (А120 3).

Если для твердых веществ, в которых имеют место связи Ван- дер-Ваальса, характерны низкие точки плавления, то для тел с ионной связью характерны высокие точки плавления.

Валентная, или атомная, связь широко распространена в орга­ нических соединениях. В частности, эта связь обусловливает ус­ тойчивость решеток германия и кремния.

3.1.2. ЯЧЕЙКИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ. ИНДЕКСЫ УЗЛОВ, НАПРАВЛЕНИЙ И ПЛОСКОСТЕЙ РЕШЕТКИ

Основной структурной частью кристаллической решетки яв­ ляется элементарная ячейка решетки. В общем случае такую эле­ ментарную ячейку можно изобразить косоугольным параллелепи­

84

педом (рис. 21). Считаем, что атомы, как узлы решетки, располо­ жены в вершинах параллелепипеда. Из рис. 21 видно, что вели­

Следовательно, элементарная ячейка характеризуется парамет­ рами: а, Ь, с — ребра и а, р, у — углы.

В случае кубической ячейки

а = Ъ= с и а = Р = у = 90°.

На рис. 22 показаны три возможных типа кубической решетки: простая, объемноцентрированная и гранецентрированная. В про­

узлов, направлений и плоско­ стей, так называемые индексы Миллера.

Положение узла задается его координатами х, у, z относительно начала координат. Однако координаты узла также могут быть за­ даны в осевых единицах длины, т. е. в единицах а, Ь, с, соответст­ вующих длинам ребер ячейки. Поэтому если общие координаты х, у, z задать в виде:

х = т а , y = nb, z — pc,

где от, я и р есть целые числа, то в осевых единицах координаты узла будут от, п и р.

Соответственно числа от, я и р называются индексами узла и записываются в двойных квадратных скобках, например: [ [от п р ] ]. Если при этом какой-либо индекс отрицательный, то над ним сверху ставится черточка. Например, при отрицательном индексе от за­

пись будет: [[от п р]].

Для задания направления выбирается прямая, проходящая че­ рез начало координат. Ее положение однозначно определяется ко­ ординатами узла, через который она проходит (рис. 23).

85

Следовательно, индексы узла одновременно будут индексами

Для примера на рис. 24 изобразили индексы направлений, со­

где х, у, z — координаты произвольной точки, лежащей в этой пло­ скости.

Рис. 22

Если плоскость проходит через узлы решетки, то координаты любого узла будут равны индексам этого узла:

На основании (3.1.2) уравнение (3.1.1) перепишется так:

f + T + f = L (з л -3>

числами. Отсюда их отношение может быть заменено отношением целых чисел h, k и I, т. е.

дексы принято заключать в круглые скобки, т. е. записывать ин­ дексы плоскости в виде: (/г, k, /).

При решении конкретных задач на определение индексов пло­ скости отрезки А, В и С обычно выражают в осевых единицах и

86

дроби приводят к общему знаменателю. Если такой общий знаме­ натель будет D, то индексами плоскости будут числа

Пусть, например, требуется определить индексы плоскости, от­ секающей на осях отрезки А = 3, В — 2, С = 1. Действуя так, как указывалось выше, запишем:

Отсюда индексы данной плоскости будут (2, 3, 6).

Используя (3.1.5), легко определить отрезки А, В, С, если из­ вестны индексы плоскости (hkl), т. е. решить обратную задачу. В са­ мом деле, если заданы индексы h, k и /, то, составив величины, им обратные (l/h, l/k, \И), и приведя эти дроби к общему знаменателю

Взаключение приведем на рис. 25 индексы плоскостей граней

ииндексы некоторых диагональных плоскостей простой кубиче­ ской решетки. Очевидно, что если плоскость параллельна какойлибо координатной оси, то соответствующий индекс будет равен

87

обозначении плоскостей кристаллов с гексагональной решеткой пользуются четырехосной координатной системой (рис. 26). В этом случае, как это принято, три оси (а!, а 2, а3) располагаются в пло­ скости сечения шестигранной призмы, перпендикулярно оси призмы и под углом 120° друг к другу, а четвертая координатная ось с направлена вверх вдоль оси призмы. Плоскость, в которой расположены оси (ах, а 2, а3), называется плоскостью базиса. В дан­ ном случае каждая плоскость задается четырьмя индексами (hkil). Третий дополнительный индекс i согласно заданному расположе­

нию осей (аъ а 2 и а3) легко вычисляется через два первых: i = = — {h + k). Так, например, плоскость, параллельная плоскости базиса, имеет индексы (0 0 0 1).

§3.2. КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ИРАСЧЕТ ЕЕ ПАРАМЕТРОВ

3.2.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

При теоретическом рассмотрении структур кристаллических ре­ шеток твердых тел атомы этих тел представляются шариками, ра­ диусы которых равны половине расстояния d& между ближайшими

соседними атомами. Радиус такого атома-шарика и принято назы­ вать атомным радиусом, который обозначим гл. По определению,

'а = dJ 2'

Возникает вопрос о том, как же располагаются (упаковываются) атомы-шарики по плоскостям и в пространстве. Очевидно, что наи­ более компактной, или плотной, упаковкой будет такая, при ко­ торой меньше будет объем пустых мест между шариками. Физи­ чески плотная упаковка атомов-шариков соответствует минимуму потенциальной энергии твердого тела, как системы атомов.

88

На рис. 27 показано, например, что наиболее плотная упаковка трех атомов-шариков, соответствует их расположению в правиль­ ном треугольнике; четырех атомов —■ в квадрате; семи атомов — в правильном шестиугольнике. Кроме того, также достаточно ком­ пактно можно расположить в квадрате пять атомов.

Сочетание таких плоскостей при образовании плотноупакованных пространственных структур, очевидно, должно происходить так, чтобы вершины шаров одной плоскости входили в промежутки между шарами другой плоскости. Так, например, плоскость из семи

Рис. 27

атомов (рис. 28) хорошо сочетается со следующей плоскостью из трех атомов, показанных пунктиром. В результате из атомов обра­ зуется структура типа 7—3—7.

Аналогично этому может быть построена структура 5—4—5 (рис. 29). Очевидно, что меньшей плотностью упаковки будет об­ ладать структура 4—1—4 (рис. 30).

ш

х £ 7

В природных кристаллах твердых тел чаще всего наблюдаются кристаллические решетки кубической и гексагональной структуры. Как мы видели в § 3.1, различают три типа кубических решеток (см. рис. 22): простую кубическую (п. к.), объемноцентрированную кубическую (о. ц. к.) и гранецентрированную кубическую (г. ц. к.).

Из рис. 22, а видно, что в простой кубической решетке восемь атомов расположены в вершинах элементарного куба, соответст­ вующего элементарной ячейке. Следовательно, для этого типа ре­ шетки с учетом заполнения плоскостей выполняется структура

4—4—4.

В объемноцентрированной кубической решетке (см. рис. 22, б) по сравнению с простой кубической решеткой добавляется один атом в центре куба. Поэтому для решеток типа о. ц. к. справедлива структура 4— 1—4.

89