Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

неопределенности нет, т. е. неопределенность этого макросостояния

Во-вторых, по физическим соображениям, с ростом числа воз­ можных микросостояний, осуществляющих данное макросостояние системы, т. е. с ростом Wr, должна возрастать неопределенность обнаружить систему именно в данном состоянии. Легко видеть, что функция In Wт или формула (1.2.14) подходит и в этом случае, так как с ростом аргумента №т логарифмическая функция воз­ растает, а значит растет и энтропия S. Следовательно, энтропия, определяемая по формуле (1.2.14), действительно является коли­ чественной мерой неопределенности макроскопического состояния системы.

Необходимо заметить, что постоянная Больцмана k вводится в формулу (1.2.14) для энтропии из соображений размерности.

Функция распределения. Получим теперь в рамках классиче­ ской статистики функцию канонического (наиболее вероятного) распределения частиц по состояниям или по энергиям, определяю­ щим эти состояния. Для этого из N частиц системы выберем N ( ча­ стиц, обладающих полной энергией E it тогда вероятность того, что одна частица обладает энергией E h запишется в виде:

(1.2.16)

Если рассматриваемое распределение частиц считать наиболее вероятным, т. е. соответствующим термодинамическому равнове­ сию, то энтропия 5 такого распределения будет максимальной, а ее вариация (вариация, как известно, есть операция, аналогичная дифференцированию) равной нулю (бS = 0). Однако условие 65 = 0 на основании (1.2.14) соответствует условию

Кроме этого, заданными и постоянными величинами будут: пол­ ная энергия системы

Но тогда вариации этих постоянных величин также будут равны нулю, т. е. 6Д = 0 и 6jV = 0. (1.2.20)

При раскрытии вариаций (1.2.17) и (1.2.20) будем учитывать, что для заданной E t вариация бЕ{ = 0, а, исходя из определения математической вероятности wh согласно (1.2.16), сумма

29

С учетом (1.2.16) и (1.2.20) вариация от (1.2.19) запишется так:

bN = 6 2 N t= N%8wt = 0, i i

т. е.

i

Аналогично этому вариация (1.2.18) на основании (1.2.16) будет равна

6£ = 6 2 E tNwt = N 2 Efiwt = 0

или

Для записи вариации (1.2.17) преобразуем In WT с учетом фор­ мулы Стирлинга для логарифма от факториала больших чисел:

Тогда на основании (1.2.15), (1.2.16), (1.2.24) и (1.2.21) получим

ц

откуда выражение (1.2.17) согласно (1.2.24) и (1.2.22) примет вид:

Итак, для определения wt необходимо рассмотреть совместно уравнения (1.2.22), (1.2.23) и (1.2.25). Воспользуемся здесь мето­ дом неопределенных множителей Лагранжа и умножим (1.2.23) на

Последнее уравнение равно нулю, если круглая скобка (коэффи­ циент) перед вариацией равна нулю, поэтому имеем

1 Равенство множителя 0 произведению постоянной Больцмана k на абсолютную температуру Т устанавливается в статистике путем применения

(1.2.27) к газам.

30

то из (1.2.26) получим функцию распределения а;,-:

Выражение (1.2.27) определяет вероятность того, что частица, например электрон, имеет энергию E h т. е. оно дает функцию рас­ пределения электронов по энергиям. Если, наконец, воспользоваться (1.2.21), то можно определить коэффициент из выражения (1.2.27):

i

Следовательно, для определения коэффициента в функции рас­ пределения (1.2.27) необходимо просуммировать экспоненциальную функцию по всем энергиям. Полученная функция канонического распределения (1.2.27) и является определяющей для классической статистики Максвелла—Больцмана.

Согласно (1.2.27), число частиц, обладающих энергией £), будет

Если частицы считать не взаимодействующими друг с другом и система не подвержена воздействию внешнего поля, то потенциаль­ ная энергия Vt = 0 и энергия частицы будет

В выражении (1.2.27) индекс i, соответствующий нумерации частиц по состояниям, выбран произвольно, поэтому его можно в дальнейшем опустить и вместо (1.2.27) писать

где f есть более часто встречающееся обозначение функции рас­ пределения w.

31

Распределение частиц по импульсам и скоростям. Коэффициент А, входящий в функцию статистического распределения, в случае распределения по импульсам может быть определен следующим образом. Вместо (1.2.27) при непрерывном распределении энергии или импульса среди частиц можно записать выражение для числа частиц dN, обладающих импульсом, лежащим в интервале от р до р + dp [см. (1.2.29) ]. Так как вероятность того, что частица об­ ладает таким импульсом, должна быть пропорциональна элементу объема dx в пространстве импульсов, то число частиц dN запишется так:

^Очевидно, что элемент объема dx при выборе в пространстве им­ пульсов сферической системы координат будет равен

dx = p2sin QdQdydp,

а интеграл от (1.2.31) по всему пространству импульсов может быть записан в виде:

Вычисляя этй интегралы1, для коэффициента А' получим выражение

N____

L (2nmkTf1* ’

причем интегралы по переменным 0 и <р дают вместе множитель 4л, так что объем dx в пространстве импульсов можно было бы сразу писать в виде:

dx = 4np2dp.

Подставляя значение А' в выражение (1.2.31), определяющее распределение частиц по импульсам, можно записать окончательно:

32