Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Формула (1.24) верна для любого х из интервала [а, Ь]. Для вычисления объема цилиндроида можно воспользоваться формулой для вычисления объема тела, заданного площадями сечений*:

ь

v = j Ф (х) dx.

а

Подставив в это равенство формулу (1.24), получим:

Так как двойной интеграл J численно равен объему v, то полу­ чаем следующую формулу:

ь Г (х)

I f(x,y)dy dx. o LJi (X)

Обычно эту формулу записывают в следующем виде:

2. Пусть область D является простой в направлении оси х. Тогда граница области может быть представлена во второй кано­ нической форме:

У— с\ y = d,

х = х 1(у)-, х = хг (у),

и цилиндроид V можно представить в виде, изображенном на рис. 13. Для вычисления объема этого тела вычислим площадь произволь­ ного сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси у. Зафикси­ руем любое значение переменной у из интервала (с, d). Сечение,

* См. [2], формула (7.6).

соответствующее этому значению, является криволинейной трапе­ цией АВСЕ (см. рис. 13), образованной функцией г = f [х, у). При фиксированном у эта функция является функцией только одного аргумента х, который меняется от х х (у) до х 2 (у). Площадь кри­ волинейной трапеции будет зависеть от фиксированного у, т. е. будет являться функцией от у. Обозначим эту функцию 1Р (у), тогда

Формула (1.26) верна для любого у из интервала [с, d]. Воспользуемся, как и в предыдущем случае, формулой для вы­

числения объема тела, заданного площадями сечений:

v —I ^ (У) dy.

С

Подставив в это равенство формулу (1.26), получим, учитывая,

Если область D является простой (как в направлении оси х, так и в направлении оси у), то справедливы оба равенства: (1.25) и (1.27). Каждое из выражений, стоящих в правых частях этих ра­ венств, называется двукратным (или повторным) интегралом от функции / (х, у) по области D. Оба двукратных интеграла полу­

друга порядком интегрирования. Представление двойного интег­ рала двукратным иногда называют р а с с т а н о в к о й п р е д е ­ л о в в двойном интеграле.

Теорема. Если функция f (х, у) интегрируема в простой области.

D, то двойной интеграл от этой функции по области D равен каж­ дому из двукратных интегралов от функции f (х, у) по области D,

т. е.

Приведенные выше рассуждения доказывают эту теорему для частного случая, когда функция f (х, у) в области D непрерывна

иположительна. Доказательство теоремы для более общего случая, т. е. для любой функции, интегрируемой в D, выходит за рамки на­ шего курса.

Таким образом, формулы (1.25) и (1.27) могут служить для вы­ числения двойного интеграла.

20

Р е ш е н и е . Воспользуемся результатом примера 2, в котором граница рассматриваемой области была представлена в канонических формах.

1. Пусть граница области представлена в первой канонической форме:

Тогда, согласно формуле (1.25), можно представить двойной ин­ теграл двукратным:

D—1 x2+l

2.Пусть граница области представлена во второй канонической

форме:

у= 1 - , у — 5

{у — 3 при 2 < у < 5;

Согласно формуле (1.27), имеем:

из частей различных линий, имеющих разное аналитическое задание, двукратный интеграл, стоящий в правой части формулы (1.30), удоб­ нее представить в виде суммы двух интегралов:

(1.30а)

Очевидно, что для вычислений формула (1.28) удобнее, чем (1.30а).

Пример 5. Вычислить двойной интеграл JJx2ydxdy, где D — область, ог-

Соответственно, исходный двойной интеграл можно двумя спо­ собами представить в виде двукратного:

и

с помощью которой мы и вычислим исходный двойной интеграл. Вы­ числим «внутренний» интеграл, входящий в двукратный интеграл формулы (1.31):

Подставив этот результат в формулу (1.31), получим:

р> 0 ) .

Ре ш е н и е . Представим границу области D во второй кано­

нической форме (рис. 15):

В этом случае расстановку в двойном интеграле следует выпол­ нить по формуле (1.27), получаем следующую формулу:

23