Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 60
Скачиваний: 0
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как функция / |
(х, у) непрерывна |
|
в D и D замкнута, то функция / (х, у) достигает в D своего наиболь |
||
шего и наименьшего значений. Обозначим их |
соответственно М |
|
и т. Следовательно, для всех точек области D имеет место соотно |
||
шение |
|
|
m < f( x , г/)<7И. |
|
|
Применив свойство 7, получим: |
|
|
mS |
J J/ (х, у) ds 4^MS. |
|
|
D |
|
Разделив все члены этого соотношения на S, получим: |
||
m |
11 f (*> y)ds^.M . |
(1.18) |
S |
D |
|
Так как функция / (х, у) непрерывна в D, то она принимает в об ласти D любое значение, заключенное между т и М, в том числе и значение
y)ds,
S D
которое в силу соотношения (1.18) заключено между ш и М . Таким образом, в области D найдется такая точка Р (х0, у0), для которой
/(*о, У о )= -^ Ш (* > y)ds. |
|
S |
D |
Умножив обе части этого равенства на S, получим формулу (1.17), что и требовалось доказать.
Замечание. Значение функции в точке (х0, у0), для которой справедлива формула (1.17), называется с р е д н и м и н т е г р а л ь н ы м з н а ч е н и е м функции £ (х, у) в области D, что и определяет название теоремы.
В заключение этого параграфа отметим, что среди свойств опре деленного интеграла существуют свойства, аналогичные рассмот ренным свойствам двойного интеграла.
1.3. Вычисление двойных интегралов
Простая область. Пусть в плоскости Оху задана область D и зафиксировано некоторое направление I. Будем говорить, что об ласть D простая в направлении /, если она удовлетворяет следую щим условиям: 1) область D ограничена; 2) область D односвязна; 3) любая прямая, параллельная I и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу области в двух и только в двух точках.
Будем говорить, что D — простая область, если она является простой в направлении оси х и в направлении оси у. Примеры об ластей, простых в каком-либо направлении, приведены на рис. 4.
13
Область D x — простая в направлении у, область D 2 — простая в направлении х, область D3— простая в направлении I. Примеры простых областей (простых как в направлении х, так и в направ лении у) приведены на рис. 5. Область П4 является простой в лю бом направлении, в том числе и в направлениях х н у , следова тельно, она является простой. Область Ьъ также является простой в направлениях х н у , однако в любом другом направлении она не является простой.
На рис. 6 приведены примеры областей, не являющихся про стыми. Область D6— бесконечная полоса — не является простой, так как нарушено условие ограниченности. Легко видеть, что об ласти D7 и D8 также не являются простыми. Заметим, что области D, и D8 могут быть разбиты на конечное число простых областей. Так, прямые KF и LP разбивают область £>7 на 4 области, простые в направлении оси у, прямые MN и QE разбивают область Ds на 5 областей, простых в направлении оси у.
Способы задания границы простых областей. Рассмотрим не которые способы задания границы простых областей.
1. |
Если область D простая в направлении оси у, то границй |
|
области может быть задана в следующем виде (рис. 7): |
||
|
х = |
х — Ъ, |
|
У—У\(*);' |
(1.19) |
|
У = У*{х), |
14
причем для всех х из промежутка (а, Ь), где a<yb, выполняется неравенство
УЛх)<Уъ(х)- |
(1.20) |
Формулу (1.19) с учетом (1.20) будем называть первой канони ческой‘формой задания границы области. Таким образом, в этом случае область D слева ограничена отрезком прямой х = а (отрез ком АВ), справа — отрезком прямой х = b (отрезком СЕ). Ниж ней границей области является кривая ух (х), верхней границей — кривая у 2 (х).
2. |
Если область D простая в направлении оси х, то граница об |
||
ласти может быть задана в виде (рис. 8): |
|
||
|
У = с\ |
y = d, |
( 1.21) |
|
х = х1(у)\ |
х = х 2 (у), |
|
|
|
причем для всех у из промежутка (с, d), где c<yd, выполняется не равенство
X i(y)< x2(y). |
(1.22) |
Формулу (1.21) с учетом (1.22) будем называть второй канони ческой формой задания границы области. Таким образом, область D ограничена снизу отрезком прямой у = с (отрезок АЕ), сверху
отрезком прямой у = d (отрезок ВС). Слева область D ограничена кривой х 1 (у), справа — кривой х2 (у).
3. Если область D является простой, то ее граница может быть представлена как в первой, так и во второй канонических формах.
В этом случае область D может быть изображена так, как показано
на рис. 9. При |
представлении границы области D в первой кано |
||
нической форме |
в качестве кривой ух (х) следует |
взять |
линию |
ALHG, а в качестве кривой у 2 (х) — линию BCEF. При представ |
|||
лении границы области D во второй канонической форме в каче |
|||
стве кривых хг (у) и х 2 (у) следует взять соответственно |
линии |
||
LABC и HGFE. При этом любой из отрезков, входящий в границу, |
|||
может оказаться |
вырожденным в точку (например, |
если точки А |
|
и В совпадут). |
|
|
|
15
Пример 1. Пусть D — область, ограниченная эллипсом,
х2 |
+ - £ - = 1 . |
(1.23) |
аа |
Ь2 |
|
Требуется представить границу области в канонической форме двумя способами: 1) как простую в направлении оси у, т. е. в форме (1.19); 2) как простую в направлении оси х (т. е. в форме (1.21).
Р е ш е н и е 1. Разрешим уравнение (1.23) относительно у, по лучим:
у = ± |
— |
V а 2— х2. |
а |
а |
г |
Отсюда легко найти область допустимых значений переменной х: |
||
|х\ < а, т. е. — а < х <а. |
Таким образом, граничными значениями |
переменной х являются значения х = — а, х — а. Через любую внут реннюю точку области D про ведем прямую, параллельную
оси у. Эта прямая |
пересечет |
границу области в |
двух точ |
ках (область простая |
в напра |
влении оси у). Пусть абсцисса
внутренней |
точки |
х |
(где |
х £ (— а, а), |
тогда |
ординаты |
точек пересечения проведенной прямой с границей области могут быть определены форму лами:
Гл = - |
4 - |
У2 — |
У а 2 — Xй, |
причем Уг^>Уг- Легко видеть, что точка с координатами (х, (/г) лежит
на «нижней границе» области, а точка (х, у2) — на верхней. |
Итак, |
||
граница области D может быть задана в виде (рис. 10) |
|
||
' х = — а; |
х = а; |
|
|
у — -----— К а2— х2 (кривая АЕС), у |
- —^ - У а г — х%(кривая АВС). |
||
2. Разрешим уравнение (1.23) относительно х. Получим: |
|
||
|
х = ± Д - / 6 2 — у2- |
|
|
|
Ь |
|
|
Отсюда |
находим область допустимых значений переменной у: |
||
|у |< Ь, т. е. — Ъ < у < Ь. |
|
будут, |
|
Таким |
образом, .граничными значениями переменной у |
||
у = — b и у = Ь. Через любую внутреннюю точку области D |
прове |
||
дем прямую, параллельную оси х. Эта |
“рямая пересечет границу об |
||
ласти в двух точках (область простая |
в направлении оси х). |
Пусть |
ордината внутренней точки у, где у £ (— Ь, Ь), тогда абсциссы точек пересечения прямой с границей области могут быть определены фор мулами:
. *1 = — — у **— ff2; *2 = — b ь
16
причем х 2^>х1. Итак, граница области/? может быть задана в виде
' у = — Ь; у = Ь\ |
|
-------- У Ь2— у2(кривая ЕАВ)\ |
УЪ2— у2(кривая ЕСВ). |
Ь |
|
Пример 2. Пусть D область, ограниченная линиями
у — х = 3; у — х2 = 1.
Требуется представить границу области в канонической форме двумя способами.
Р е ш е н и е . Для построения области D найдем пересечение линий, ограничивающих область. Для этого надо решить систему уравнений, состоящую из урав нений линий, образующих гра ницу: •
у — х = 3;
У — х2= 1.
Выразим у из первого урав нения и подставим во второе, по лучим:
у = х + 3; х -+- 3 — х2 ~ 1;
х2 — х — 2 = 0.
Решая это квадратное урав нение, получаем:
Xi = — 1, х2 — 2.
Подставляя |
эти |
значения |
|
в одно из |
уравнений системы, |
||
определяем |
значения у |
У\ — 2; |
|
у2 = 5. Таким образом, |
искомые |
||
точки пересечения |
имеют следующие координаты: точка В (рис. 11) — |
—(— 1,2), точка С — (2,5).
1.Воспользуемся тем, что область D ■—простая в направлении оси
у. Легко видеть, что граничными значениями переменной х являются значения х г = — 1 и х2 = 2. При изменении переменной х в этих пределах переменная у меняется от линии ВАС, являющейся нижней границей области, до линии ВС, являющейся верхней границей. Чтобы получить задание границы в первой канонической форме, каж дую из этих линий надо представить в виде у = у (х).
В этом виде линия ВАС имеет вид у = х2 + 1, а линия ВС имеет вид у = х + 3.
Таким образом, граница области может быть представлена г виде:
х = |
— 1; |
х = |
2, |
у = |
X2->г \\ |
у = |
х -{-?>. |
2. Воспользуемся тем, что область D —простая в направлении осих. Легко видеть, что граничными значениями переменной являются зна чения i/i = 1, у 2 = 5. При изменении переменной в этих пределах переменная х меняется от линии АВС, являющейся левой границей, до линии АС, являющейся правой гр^Гйцёй,. Чтоб,БГ'-пвяучч1-’и^аа^ание
Заказ № 1740 |
| л |
: |
5 17 |
границы области в форме (1.21), надо каждую |
из этих линий задать |
||||
в виде х — х (у). В этом виде линия |
АВС имеет вид |
||||
j |
х = — У у — * |
при |
1 < у < 2; |
|
|
1 |
х = у — 3 |
при 2 < у < 5, |
|||
а линия АС имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
х = = У у — 1. |
|
|
|
Таким образом, окончательно получаем: |
|
||||
1, |
у = 5; |
|
|
|
|
( |
— У у — 1 |
при |
1 < у < 2; |
______ |
|
1 |
у — 3 |
|
|
х — У у — 1 • |
|
при 2 < у < 5; |
|
Вычисление двойного интеграла с помощью двукратного. Пусть функция f (х, у) интегрируема в области D. Требуется вычислить двойной интеграл (/) от функции f (х, у) по области D, где
J = f |/(х, у) dxdy.
'd
Для упрощения рассуждений будем считать, что / (х, у)^>0 для всех точек области D. Тогда двойной интеграл J численно равен объему цилиндроида V, образованного функцией f (х, у) над областью D. Рассмотрим два случая.
1. Пусть область D является простой в направлении оси у Тогда граница области может быть представлена в первой канони ческой форме:
( |
х = а, |
х — Ь, |
\ |
y = yi(x), |
У = Уа(х), |
и цилиндроид V можно представить в виде, изображенном на рис. 12. Для вычисления объема этого тела вычислим площадь произволь ного сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси х. Зафикси руем любое значение переменной х из интервала [а, Ь]. Сечение, соответствующее этому значению, является криволинейной тра пецией АВСЕ, образованной функцией z = / (х, у). При фиксиро ванном х эта функция является функцией только одного аргумента у, который меняется от уг (х) до у 2 (х). Вычислить площадь можно с помощью интегрирования по у. Полученный результат будет за висеть от фиксированного значения х, т. е. будет являться функцией от х. Обозначим эту функцию Ф (х), тогда
Уг м |
(1.24) |
Ф (х) = j fix, y)dy. |
|
У1(*) |
|
18