Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 60

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как функция /

(х, у) непрерывна

в D и D замкнута, то функция / (х, у) достигает в D своего наиболь­

шего и наименьшего значений. Обозначим их

соответственно М

и т. Следовательно, для всех точек области D имеет место соотно­

шение

 

 

m < f( x , г/)<7И.

 

Применив свойство 7, получим:

 

mS

J J/ (х, у) ds 4^MS.

 

 

D

 

Разделив все члены этого соотношения на S, получим:

m

11 f (*> y)ds^.M .

(1.18)

S

D

 

Так как функция / (х, у) непрерывна в D, то она принимает в об­ ласти D любое значение, заключенное между т и М, в том числе и значение

y)ds,

S D

которое в силу соотношения (1.18) заключено между ш и М . Таким образом, в области D найдется такая точка Р (х0, у0), для которой

/(*о, У о )= -^ Ш (* > y)ds.

S

D

Умножив обе части этого равенства на S, получим формулу (1.17), что и требовалось доказать.

Замечание. Значение функции в точке (х0, у0), для которой справедлива формула (1.17), называется с р е д н и м и н т е г р а л ь н ы м з н а ­ ч е н и е м функции £ (х, у) в области D, что и определяет название теоремы.

В заключение этого параграфа отметим, что среди свойств опре­ деленного интеграла существуют свойства, аналогичные рассмот­ ренным свойствам двойного интеграла.

1.3. Вычисление двойных интегралов

Простая область. Пусть в плоскости Оху задана область D и зафиксировано некоторое направление I. Будем говорить, что об­ ласть D простая в направлении /, если она удовлетворяет следую­ щим условиям: 1) область D ограничена; 2) область D односвязна; 3) любая прямая, параллельная I и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу области в двух и только в двух точках.

Будем говорить, что D — простая область, если она является простой в направлении оси х и в направлении оси у. Примеры об­ ластей, простых в каком-либо направлении, приведены на рис. 4.

13


Область D x — простая в направлении у, область D 2 — простая в направлении х, область D3— простая в направлении I. Примеры простых областей (простых как в направлении х, так и в направ­ лении у) приведены на рис. 5. Область П4 является простой в лю­ бом направлении, в том числе и в направлениях х н у , следова­ тельно, она является простой. Область Ьъ также является простой в направлениях х н у , однако в любом другом направлении она не является простой.

На рис. 6 приведены примеры областей, не являющихся про­ стыми. Область D6— бесконечная полоса — не является простой, так как нарушено условие ограниченности. Легко видеть, что об­ ласти D7 и D8 также не являются простыми. Заметим, что области D, и D8 могут быть разбиты на конечное число простых областей. Так, прямые KF и LP разбивают область £>7 на 4 области, простые в направлении оси у, прямые MN и QE разбивают область Ds на 5 областей, простых в направлении оси у.

Способы задания границы простых областей. Рассмотрим не­ которые способы задания границы простых областей.

1.

Если область D простая в направлении оси у, то границй

области может быть задана в следующем виде (рис. 7):

 

х =

х — Ъ,

 

У—У\(*);'

(1.19)

 

У = У*{х),

14

причем для всех х из промежутка (а, Ь), где a<yb, выполняется неравенство

УЛх)<Уъ(х)-

(1.20)

Формулу (1.19) с учетом (1.20) будем называть первой канони­ ческой‘формой задания границы области. Таким образом, в этом случае область D слева ограничена отрезком прямой х = а (отрез­ ком АВ), справа — отрезком прямой х = b (отрезком СЕ). Ниж­ ней границей области является кривая ух (х), верхней границей — кривая у 2 (х).

2.

Если область D простая в направлении оси х, то граница об­

ласти может быть задана в виде (рис. 8):

 

 

У = с\

y = d,

( 1.21)

 

х = х1(у)\

х = х 2 (у),

 

 

причем для всех у из промежутка (с, d), где c<yd, выполняется не­ равенство

X i(y)< x2(y).

(1.22)

Формулу (1.21) с учетом (1.22) будем называть второй канони­ ческой формой задания границы области. Таким образом, область D ограничена снизу отрезком прямой у = с (отрезок АЕ), сверху

отрезком прямой у = d (отрезок ВС). Слева область D ограничена кривой х 1 (у), справа — кривой х2 (у).

3. Если область D является простой, то ее граница может быть представлена как в первой, так и во второй канонических формах.

В этом случае область D может быть изображена так, как показано

на рис. 9. При

представлении границы области D в первой кано­

нической форме

в качестве кривой ух (х) следует

взять

линию

ALHG, а в качестве кривой у 2 (х) — линию BCEF. При представ­

лении границы области D во второй канонической форме в каче­

стве кривых хг (у) и х 2 (у) следует взять соответственно

линии

LABC и HGFE. При этом любой из отрезков, входящий в границу,

может оказаться

вырожденным в точку (например,

если точки А

и В совпадут).

 

 

 

15


Пример 1. Пусть D — область, ограниченная эллипсом,

х2

+ - £ - = 1 .

(1.23)

аа

Ь2

 

Требуется представить границу области в канонической форме двумя способами: 1) как простую в направлении оси у, т. е. в форме (1.19); 2) как простую в направлении оси х (т. е. в форме (1.21).

Р е ш е н и е 1. Разрешим уравнение (1.23) относительно у, по­ лучим:

у = ±

V а 2х2.

а

а

г

Отсюда легко найти область допустимых значений переменной х:

|х\ < а, т. е. — а < х <а.

Таким образом, граничными значениями

переменной х являются значения х = — а, х — а. Через любую внут­ реннюю точку области D про­ ведем прямую, параллельную

оси у. Эта прямая

пересечет

границу области в

двух точ­

ках (область простая

в напра­

влении оси у). Пусть абсцисса

внутренней

точки

х

(где

х £ (— а, а),

тогда

ординаты

точек пересечения проведенной прямой с границей области могут быть определены форму­ лами:

Гл = -

4 -

У2 —

У а 2 Xй,

причем Уг^>Уг- Легко видеть, что точка с координатами (х, (/г) лежит

на «нижней границе» области, а точка (х, у2) — на верхней.

Итак,

граница области D может быть задана в виде (рис. 10)

 

' х = — а;

х = а;

 

 

у — -----— К а2— х2 (кривая АЕС), у

- —^ - У а г — х%(кривая АВС).

2. Разрешим уравнение (1.23) относительно х. Получим:

 

 

х = ± Д - / 6 2 — у2-

 

 

Ь

 

 

Отсюда

находим область допустимых значений переменной у:

|у |< Ь, т. е. — Ъ < у < Ь.

 

будут,

Таким

образом, .граничными значениями переменной у

у = b и у = Ь. Через любую внутреннюю точку области D

прове­

дем прямую, параллельную оси х. Эта

“рямая пересечет границу об­

ласти в двух точках (область простая

в направлении оси х).

Пусть

ордината внутренней точки у, где у £ (— Ь, Ь), тогда абсциссы точек пересечения прямой с границей области могут быть определены фор­ мулами:

. *1 = — — у **— ff2; *2 = — b ь

16


причем х 2^>х1. Итак, граница области/? может быть задана в виде

' у = — Ь; у = Ь\

 

-------- У Ь2— у2(кривая ЕАВ)\

УЪ2у2(кривая ЕСВ).

Ь

 

Пример 2. Пусть D область, ограниченная линиями

у — х = 3; у х2 = 1.

Требуется представить границу области в канонической форме двумя способами.

Р е ш е н и е . Для построения области D найдем пересечение линий, ограничивающих область. Для этого надо решить систему уравнений, состоящую из урав­ нений линий, образующих гра­ ницу: •

у — х = 3;

У х2= 1.

Выразим у из первого урав­ нения и подставим во второе, по­ лучим:

у = х + 3; х -+- 3 — х2 ~ 1;

х2 х — 2 = 0.

Решая это квадратное урав­ нение, получаем:

Xi = — 1, х2 2.

Подставляя

эти

значения

в одно из

уравнений системы,

определяем

значения у

У\ — 2;

у2 = 5. Таким образом,

искомые

точки пересечения

имеют следующие координаты: точка В (рис. 11) —

(— 1,2), точка С — (2,5).

1.Воспользуемся тем, что область D —простая в направлении оси

у. Легко видеть, что граничными значениями переменной х являются значения х г = — 1 и х2 = 2. При изменении переменной х в этих пределах переменная у меняется от линии ВАС, являющейся нижней границей области, до линии ВС, являющейся верхней границей. Чтобы получить задание границы в первой канонической форме, каж­ дую из этих линий надо представить в виде у = у (х).

В этом виде линия ВАС имеет вид у = х2 + 1, а линия ВС имеет вид у = х + 3.

Таким образом, граница области может быть представлена г виде:

х =

— 1;

х =

2,

у =

X2->г \\

у =

х -{-?>.

2. Воспользуемся тем, что область D —простая в направлении осих. Легко видеть, что граничными значениями переменной являются зна­ чения i/i = 1, у 2 = 5. При изменении переменной в этих пределах переменная х меняется от линии АВС, являющейся левой границей, до линии АС, являющейся правой гр^Гйцёй,. Чтоб,БГ'-пвяучч1-’и^аа^ание

Заказ № 1740

| л

:

5 17


границы области в форме (1.21), надо каждую

из этих линий задать

в виде х — х (у). В этом виде линия

АВС имеет вид

j

х = У у — *

при

1 < у < 2;

 

1

х = у — 3

при 2 < у < 5,

а линия АС имеет вид

 

 

 

 

 

 

х = = У у — 1.

 

 

Таким образом, окончательно получаем:

 

1,

у = 5;

 

 

 

 

(

У у — 1

при

1 < у < 2;

______

1

у — 3

 

 

х — У у — 1 •

при 2 < у < 5;

 

Вычисление двойного интеграла с помощью двукратного. Пусть функция f (х, у) интегрируема в области D. Требуется вычислить двойной интеграл (/) от функции f (х, у) по области D, где

J = f |/(х, у) dxdy.

'd

Для упрощения рассуждений будем считать, что / (х, у)^>0 для всех точек области D. Тогда двойной интеграл J численно равен объему цилиндроида V, образованного функцией f (х, у) над областью D. Рассмотрим два случая.

1. Пусть область D является простой в направлении оси у Тогда граница области может быть представлена в первой канони­ ческой форме:

(

х = а,

х — Ь,

\

y = yi(x),

У = Уа(х),

и цилиндроид V можно представить в виде, изображенном на рис. 12. Для вычисления объема этого тела вычислим площадь произволь­ ного сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси х. Зафикси­ руем любое значение переменной х из интервала [а, Ь]. Сечение, соответствующее этому значению, является криволинейной тра­ пецией АВСЕ, образованной функцией z = / (х, у). При фиксиро­ ванном х эта функция является функцией только одного аргумента у, который меняется от уг (х) до у 2 (х). Вычислить площадь можно с помощью интегрирования по у. Полученный результат будет за­ висеть от фиксированного значения х, т. е. будет являться функцией от х. Обозначим эту функцию Ф (х), тогда

Уг м

(1.24)

Ф (х) = j fix, y)dy.

У1(*)

 

18