Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Соответствующий вариационный ряд . . . 31,33; 31,57; 31,75; 31,98; 32,09; 32,36; 32,46; 32,46; 32,61; 32,68. Медианами являются 32,09 и

32,36. Кривая накопленных частот показана на рис. 59. £* = 32,129;

а2 = 0,193.

*

Для выборок большого объема распространен другой способ графического представления. Весь интервал числовой оси, в кото­ рый попадают выборочные значения \ делят на п (обычно 10—20) равных частей точками а0<С,а1<С_а2<^ . . . Обозначим vk число предметов выборки, для которых значения | попадают в про­ межуток [ak^v aky Над каждым таким промежутком на графике

строится прямоугольник высотой vk. Полученную ступенчатую фигуру называют гистограммой выборки (рис. 60). Рассматривается

случайная величина £* с возможными значениями xk= ak~1^rClk ;

каждое такое значение имеет вероятность — . Выборочным законом

распределения считается распределение |*, выборочные среднее и дисперсия находятся по формулам

И т. д .

Советским математиком Гливенко доказана теорема о том, что при достаточно большом объеме выборки п и малом А = ak— ak_ x

выборочный закон распределения сколь угодно близок к закону распределения генеральной совокупности.

Правило «ложного» нуля. Для упрощения расчетов при вычис­ лении числовых характеристик выборки удобно воспользоваться правилом «ложного нуля». Правило это состоит в следующем.

Выбирается произвольное число а, после чего формула (6.1) для среднего значения выборки заменяется равносильной ей фор­ мулой

Формула для выборочной дисперсии преобразуется следующим

Возводя в квадрат выражения, стоящие в скобках, преобразуем каждое слагаемое в правой части:

(Х1—а+ а — С*)2 - (Xi- a ) z + 2 (Х ,- а ) ( а - ! * ) + (а -| * )2. (6.7)

Просуммируем (6.7) по i, сгруппировав вместе сначала первые слагаемые, затем вторые и третьи. Вторые слагаемые содержат

157

общий множитель 2 (а—£*), который можно вынести за знак суммы,

2 2 (Х;—а) (а —£*) = —2п (а —£*)2.

£=1

Третьи слагаемые в (6.7) одинаковы при всех i, поэтому их сумма будет равна п (а—|*)2. Таким образом,

— а)2 — 2п (а— 1*)2 + п (а— £*)2.

После приведения подобных членов и подстановки получен­ ного выражения в (6.6) оконча­ тельно получаем:

( 6.8)

Заметим, что формулы (6.5) и (6.8) справедливы при любом а, поэтому а подбирается таким образом, чтобы вычисление сумм в (6.5) и (6.8) оказалось воз­ можно более простым (в форму­ лах (6.5) и (6.8) можно брать не одинаковые а).

Пример 2 (продолжение примера 1). Для упрощения вычисления поло­ жим а = 32,1. Вычислим разности Х{—а: — 0,77; — 0,53; — 0,35;

— 0,12; — 0,01; 0,26; 0,36; 0,36; 0,51; 0,58. Сумма этих разностей равна

0,29, поэтому согласно формуле (6.5)

I* = — -0,29 + 32,1 =32,129.

10

Возведем в квадрат каждую разность X i — а, а затем сложив по­

лученные числа, получим 1,9341. Далее находим, что (а — | * ) 2 = = 0,000851. Вычисляем выборочную дисперсию, используя формулу

ст2= — .1,9341 — 0,000851 = 0,192559 « 0,193.

10

ПримерЗ. В первых трех столбцах табл. 1 приведены данные результатов измерения диаметров головок 2 00 заклепок.

158

Все выборочные значения сгруппированы в 12 интервалов длиной 0,05 мм каждый. В первом столбце помещены номера интервалов г,

Полученный эмпирический закон распределения заменяют в том или ином отношении близкой к нему удобной аналитической функ­ цией. Для этой цели могут быть использованы нормальная функция распределения, кривые Пирсона и т. д. Для приближенного пред­ ставления выборочного распределения дискретной случайной ве­ личины может оказаться полезным закон распределения Пуассона с соответствующим образом выбранным параметром а. Более под­ робно о представлении эмпирических зависимостей аналитическими функциями будет сказано в § 6.5.

Пример 4 (продолжение примера 3). В качестве приближения кривой накопленных частот закона распределения диаметров заклепок возь­ мем функцию распределения для нормального закона с параметрами

кривая накопленных частот выборки, а пунктиром — приближающие

их функции Ф ) и / (х) = Ф.; ( £ " -~) - ^ г •

159

6.3. Точечные оценки параметров распределения генеральной совокупности

Для описания законов распределения реальных случайных ве­ личин обычно используют близкие к ним теоретические законы рас­ пределения (такие как нормальный, показательный, Пуассона и др.), каждый из которых зависит от конечного числа параметров. Если по виду графика'выборочного закона распределения £ или из теоретических соображений удается установить вид закона рас­ пределения генеральной совокупности, то дальнейшее уточнение этого распределения сводится к оценке его параметров.

Пусть а — параметр закона распределения генеральной сово­ купности. Точечная оценка этого параметра по выборочным значе­ ниям состоит в том, чтобы по наблюдавшимся в выборке значениям случайной величины

X lt x t , . . . , x n

указать значение параметра а. Обозначим указанное таким образом

значение (оценку параметра а) символом ап. При сделанном в конце §6.1 предположении Х ъ Х 2, . . . , Хп можно считать значениями независимых случайных величин |2, . . . , \п, закон распреде­ ления каждой из которых совпадает с законом распределения ге­ неральной совокупности. Оценка а* параметра а ставит в соответст­

вие каждому возможному набору Х г, Х 2, ■••, Хп значений слу­

ляется случайной величиной. Закон распределения ап зависит как

от закона распределения генеральной совокупности, так и от вида функции <рп.

Выборочные моменты. В качестве оценки моментов закона рас­ пределения генеральной совокупности обычно используются вы­ борочные моменты, которые вычисляются по таким же формулам, что и оцениваемые моменты, только вместо возможных значений xt случайной величины ставятся выборочные значения Xh получен­ ные в результате наблюдения, а вместо вероятностей — частоты. Например, начальные моменты находятся по формуле- (6.3). В ка­ честве оценки математического ожидания используется выбороч­ ное среднее, которое в зависимости от объема выборки определяется либо по формуле (6.4), когда п велико, либо по формуле (6.1):

т* = |*= _L

П £=1

При большом объеме выборки п (не менее нескольких десятков) в силу центральной предельной теоремы закон распределения т*п

160