Файл: Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 1
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Ф (х) — |
|
|
|
dt есть функция Лапласа. |
Точно так же |
||||||||||||
|
|
< |
М 1 |
)0= - P| |
{ x t f = { 4 ' t , |
« |
|
|
|
|
\ |
|
) |
||||
|
|
|
|
|
|
S' . |
|
[к - |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- |
|
! |
|
fl Г |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
~ 2 ( ß ( - a t ) " J |
[ Ф Ѵ И 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1't |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<?.(XI O |
- |
^ |
g K . . |
Р \М чг\ , |
e '()|xt e ( a 4. |
Pi)} = |
||||||||||
|
|
|
|
|
----- 1 - ^ |
( 1 |
I l ) - < 7 t |
( 0 | 1), |
|
|
|||||||
где члены (a't , ß'4), |
( y' 4, |
S'4) |
обозначают |
внешние части отрезков |
|||||||||||||
(a'4, |
P't), |
(y'i> 3 '4). |
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
<7( (ОI 0) = |
P (A't e |
(Y't, |
|
3'4) IXj S |
(ft. |
8t)} : |
||||||||
|
|
|
|
|
|
5' . |
Ф h — f |
|
|
|
Ф f-<i — t |
|
|||||
|
|
|
2(»t-Yi) |
|
|
J |
|
|
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V У 2 |
|
|
|||||
|
|
|
di ( 1 I 0) = P № |
e |
( a ' i , Р ' г ) | Х 4 е ( Т г . « i ) } = |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.59) |
|
|
|
|
|
|
|
ф ( ф8 = ± ) - ф ( ^ = 1 |
dt |
|||||||||
|
|
|
2 ( S 4 — |
Yi) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
T't |
|
\у 2 о 4 |
; |
|
|
|
\ V'2 a4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
<?t (X I |
0) = |
Я (ДГ* e |
(a't. Р ' г М т ' г . |
|
з |
\ ) | х 4 е |
( т 4 . |
«t)}= |
||||||||
|
|
|
|
|
— 1 |
Qi (0 ] 0) |
<7г |
(1 |
10). |
|
|
||||||
При |
заданных |
|
ßo |
у>> |
öi |
мы можем |
|
варьировать |
значения а';, |
||||||||
ß't. |
у'<, |
6'і |
с |
таким |
расчетом, |
чтобы |
вероятности |
дг(111 ),..., |
|||||||||
. . . , |
(X 10) |
соответствовали экстремальному |
значению показателя |
||||||||||||||
эффективности системы |
распознавания. |
|
|
|
фі, |
ср2, |
фз, Ф4, заданных |
||||||||||
|
Найдем |
первые |
импликанты функций |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
[ЫЙ базис |
Ьх Иь Аг, Аз |
/ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
А, |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
I |
|
|
||
|
|
|
|
|
а 2 1 X |
X X |
0 |
X |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
A s X 0 |
1 |
X |
1 |
|
0 |
1 |
|
(6.60) |
||||
|
|
|
|
|
А4 0 X |
X |
1 |
X |
|
0 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
К, |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
К2 0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
Кг |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
|
|
||
192
Совершив переход от базиса |
&х [Ль А г , |
А 3, |
Л4; К і , |
К г , Кз] к базису |
|||||||||||
Ьс[Аі, |
А г , A |
3, |
At; |
Кі, К г , 7?з], |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
#Лі = 0101 |
0101 |
0101 |
0101 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
# Л 2=0011 |
ООП ООП ООП |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
# Л 3 = 0000 М 11 |
0000 |
1111 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
# Л 4 = 0000 0000 |
1111 |
1111 |
|
|
(6.61) |
||||||
|
|
|
|
#Кі=0101 0001 0101 0000 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
# Кг= 0000 1010 1О10 |
1010 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
=Н=/Сз= 1010 0100 0000 0100 |
|
|
|
|
|||||||
Последние три строки базиса (6.61) являются изображающими чис |
|||||||||||||||
лами |
функций К і ( А і , |
А г, А з , |
Л4), |
К г ( А і , |
А г , А з , |
Л4), |
К з ( А ь А г , |
||||||||
А з , А і ) |
относительно полного |
стандартного |
базиса b{Ait |
А г , |
Л3, |
Л4]. |
|||||||||
Переходя от изображающих чисел к функциям, найдем |
|
|
|
||||||||||||
|
|
Лл = Лі-Л2 -Л4 + Лі-Лз, К г = А і - (Л3 +Л4 ), |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
К з = А 1 ■А г |
•ЛзтрАі •Лз • Л4. |
|
|
(6.62) |
|||||||
Так как К і - К г = |
0, К і |
■К з = 0 , |
К г - К з = 0, |
|
то, следовательно, |
также |
|||||||||
|
|
|
I ~ К I • |
г - К $ ~ А ! ■А% • А Q |
|
А 1■Л з , |
3 |
|
|
|
|||||
|
|
¥ 2 |
Аі ■Кг-Кз |
= |
Аі ■А 3 ~І~ А і -Л4, |
|
|
|
/(6.63) |
||||||
|
|
?з — К і - К г - К з = Л, • Л2 • Л3 |
А 1 ■Л3 • Л4, |
I |
|
|
|
||||||||
и, кроме того |
(рі=Кі ■Кг - Кз—Аі ■Аг ■А 3 • Аі. |
импликант функций |
ср, |
||||||||||||
Заметим, |
что |
для |
определения первых |
||||||||||||
можно было бы воспользоваться базисом |
(6.60), не |
переходя к |
со |
||||||||||||
кращенному базису (6.61), что |
особенно |
существенно при большом |
|||||||||||||
числе элементов Л4. Покаже^м, например, как найти первые импли- |
|||||||||||||||
канты |
функции срі= Кі • Кг ■Кз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем |
отрицание cp4: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
О , |
фі — Кі + Кг + Кз. |
|
|
|
|
|
|
||||
С колонкой |
Кі |
отвечающей Кі, |
сравнимы пять последних пра |
||||||||||||
Кг X
Кз X
вых колонок базиса (6.60), поэтому
К і -—кЛі •Лз7 -Лі -Л4+ Лі'И2 -Лз+ Лі-Лз'Л4 +Лі- А г - А з - A t ,
или после преобразования К і —*-Лі+ А г ■Л3+ Л 3• Л4. Аналогично с помощью базиса (6.60) находим
|
К г - —>-Л1 ■Лз+Л1 |
• Л4, |
К з —>-Л1 ■Лг■Лз'+Лі • Лз • Л4 |
(6.64) |
Откуда |
следует К і + К г + |
Кз-—М і+Л2• Л3+Л3• Л4; после |
обращения |
|
этого соотношения |
|
|
|
|
|
А і - ( А з + А г - А і ) — ^ К і - К г - К з . |
(6.65) |
||
Левая |
часть (6.65) совпадает |
с правой частью первого |
соотноше |
|
ния (6.62). |
|
|
|
|
1 3 ^ 4 5 2 |
193 |
Представим суммы (6.63) первых импликант функций cpj в со вершенной дизъюнктивной нормальной форме:
<Pi = |
A i - A 2 - A 3 - / i - ^ - A 1 - A 2 - Ä3 - Ä t A~ А у-Â 2 -Я 3- - \ - |
|
|
+ A I-Ä2- Â3-Ai + A 1-A2-Ä3-Ait |
|
?2 = |
Ai -Л2 ■A3 ■Ä\ + Âi ■А 2 • A3 ■A,i -)- Л, • Ä2 ■A3 ■А t -|- |
|
|
+ Äx ■A 2-A3- A.i -f Д, ■Ä2- А3-Аѵ-f Д, -At -Д3- Д4, |
(6.66) |
f 3~ Аі-Л2-А3-Лі -1-А,-/2-А3-Аі -}-Л1-Лг-Л3-Лі + |
|
|
|
~b Äi -A2 ■A3 ■Ä4, |
|
¥4 —Ai - A 2 • A 3 - A4. |
|
|
Каждое слагаемое в(6.66) соответствует конкретному типу f |
объ |
|
екта (или явления) из соответствующего класса ф3-, /= 1, 2, 3, 4, который может встретиться в опыте; значения индекса a.j являются номерами типов объектов в пределах каждого класса.
Рассмотрим объект первого типа из класса фі, т. е.
|
f\ = Д ,-Д 2-Д3-Д4. |
|
(6.67) |
||
Найдем [вероятность P (y ,|/J), |
с которой |
объект (6.67) |
будет |
отне |
|
сен при распознавании к классу фі. В соответствии с |
(6.63) |
выпи |
|||
шем полный |
набор импликант функции |
фі = Кі • Кз • Кз'. Аі- Аг-Ас, |
|||
А і ■А 2 - A 3 - А 4; |
А і -А%-Аз • Ab, |
Аі • Аз', |
Аі - Аг - Аз \ |
A i - А з - А з', |
|
А і - А з - А і ', А і ■А з - А і ; |
A i ■Аз ■Аз • Д4; А і • Аз ■А з • Д4,' |
|
|||
|
А і - Л з - Я з - А і . |
|
(6.68) |
||
ВероятностьЯ ( у ,|/{ ) равна вероятности оценитьпризнаки |
объекта |
||||
f{ = А,- А2-А3-Л4 как какую-либо импликанту из набора |
(6.68), |
т. е. |
|||
Р(<Рі - | f ‘i) =<7і(1 | 1 ) ? 2(1|1)?з ( Х |1)<74(0[0) +
+ <7і(1|1)йг(1|1)(?з(і|1)<74(0|0)-!-
+ <?і (1 11)9г( 111) <7з(0 j 1)<74(0|0) + ^і (1 ! 1)<7г( X 11)Рз(0| 1)^4(X 10) +
+?,(1|1)</2(1|1)?а(0|1)<7*(Х|0) +
+?|(1|1)<72(0|1)ЫО|1)</*(Х|0) +
+</1(1|1)«72(Х|1)<7з (0|1)<74(1|0)+<7і (1|1)^(Х|1)<7з (0|1)<7і (0|0) +
+<7,'(1|1)<72(1|1)‘7з (0|1)<74(1|0) +
-I-Ц\ (1 ! 1) <72 (011) <7з (011) </4 (1 10) +
+ <7i (1 i 1) <72(011) <73(011) g4(010).
Объединим в этом выражении следующие члены: первый, вто рой и третий; пятый и девятый; шестой, десятый и одиннадцатый, а также три оставшихся и воспользуемся равенствами
<7з(Х|1)+<7з(1|1)+<7з(0|1) = 1, ф4(Х 10) +<74(1 S0) + ф4(0|0) = 1,
ІУ4
ТогДа пблучйМ
^(фі |/*1) = ^ l(l j l)f/2(l I 1)^і(0 |0) + ^ і(1 I 1)^3(0 | 1)[^2(1 S1) +
+ ? 2 (0 | 1 ) + < ?а ( Х | 1) ] - < / і ( 1 | 1) ? 2 ( 1 | 1) ? * ( 0 | 1 )<7*( 0 | 0 ).
Заметив, |
что |
q2(l 11) +^г(0| i) +(?2(Х 11) = 1, в полном соответствии |
||||
с формулой |
для вероятности суммы нескольких событий |
найдем |
||||
|
Я М / М = < ? , ( 1 |1 ) < 7 г ( 1 |1 ) < 7 4 ( 0 | 0 ) +</і ( 1 | 1 ) ? , ( 0 | 1 ) - |
|
||||
|
|
—9і(111)</2(1 1l)9s(0| 1 )94(0 )0). |
(6.69) |
|||
Учитывая |
выражения |
(6.63) и (6.64), |
по аналогии с (6.69) |
получаем |
||
Р(ъ\і\) = Чі (О1.1) ?,(І I !) |
+ <?, (ОI !)<?., (Ч 0) - |
|
||||
|
|
— 9і (ОI 1)9.(1 11)9,(40), |
|
|||
|
Р (?, !/]) = |
9.(1 I |
1) 92 (ОI 1) 9з (1 I 1)+ |
(6.70) |
||
|
|
+ |
9і (0 I |
О 9з (0 11) 9, (0 I 0), |
|
|
|
Р(?4і /!) = |
9, (1 I |
1)92(1 11)9. (1 I 1)9.0 I 0). |
|
||
Точно так же можно определить и все оставшиеся 15-4 = 60 величин
P(ft\fj J), где /у 3 обозначает а3--й тип объекта в классе <р3-. Предпо
ложим, что как появление объектов из различных классов так и рас пределение отдельных объектов в пределах каждого класса равно вероятно. Прч этом вероятности p tj, вычисленные по формуле (0.49), можно записать так:
|
|
|
|
|
|
r> |
|
|
Рп= |
|
а=\ |
|
|
|
a=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
P.3 = |
4 - 5 > W |
fâ); |
Pi4 = |
^(¥i|f4); |
||||
|
|
а=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
Рг 1 = |
5 " |
P (?г| f 1); |
P22 — |
|
P (?2І 12)’ |
|||
|
|
a = 1 |
|
|
a |
= |
|
l |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Ргг~= 4 ~ |
^ ] Я ^ |
2і [ з ); |
P t i = |
P ( ' - |
p 2 |
|
| / 4 ) 1 |
|
|
|
a=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
A i= |
|
P |
|
Рг 2 = |
|
Ш0* |
P (f.l ZI): |
|
|
|
|
|
1 Г У |
|
|||
|
|
а — 1 |
|
|
|
a=l |
|
|
13; |
|
|
|
|
|
|
|
i 95 |
4
|
|
|
|
|
Ри = р Ыі\)'> |
|
|
|
|
Ріг = |
4 ~ Y j P Ы f ' ); |
Pii = " F |
S |
f2 ). |
|
|
|||
|
|
a=l |
|
|
|
a=l |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
/ |
4> 3 = |
|
|
|
і 4 = |
Я |
( ? |
4 |
| ^ ) . |
|
|
|
cc—I |
|
|
|
|
|
|
Величины средних |
условных выигрышей на одно решение |
определя |
|||||||
ются следующим образом: |
4 |
5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/?і — С51 + |
5 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
51 |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І—I сс=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
^2 -- ^52 +“Г |
6 |
Y j |
( С ^ - С „ ) Р ( Ь \Г2). |
|
|
||||
|
|
|
|
і — 1 |
а.— 1 |
|
|
|
|
|
|
»Т |
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
4 5] 5 ] ( С‘з- С 5з)Р (¥і |^), |
|
|
|||||
R3 —■С 53 + |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
і=1 |
а = 1 |
|
|
|
|
Я4 --С54 + |
|
(Сі 4 |
С5 4 ) Р (<Рі I /4 ), |
|
|
|
|||
где, как и раньше, С15-, |
/, j — 1, .... 4 — размер выигрыша, |
когда |
|||||||
объект /-го класса принимается за объект і-го класса, а |
C5j — раз' |
||||||||
мер платежа, когда об объекте /-го класса не принимается никакого |
|||||||||
решения. |
|
|
|
|
средний выигрыш ■на |
одно решение |
|||
И, наконец, безусловный |
|||||||||
выразится как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я = - |
^ |
c5j + ~ |
5 ] |
ПГ (с* > -с51) ^ Я Ы П ) -і- |
|||||
|
/=1 |
|
|
г=1 |
6 |
а—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 - ( С « - С м) J]p(Ttlf2) + |
|
|
|
||||
+ 4 - |
- |
с 5з) ) ] |
Я (»11/з) + (Ct4 - |
С 54) Р (Vi I f\ |
) |
(6.71) |
|||
о=1
196