Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 86

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Гл.

/.

Общие понятия разреоісенности и тонкой

топологии

15

Но топология ST, равномеризуема, поэтому сущест­

вует

непрерывная

на Q

 

функция

со

со

значениями

в [0,

1], такая, что со(х0) =

0 и и(л')=1

на С о 1).

 

Положим f — sup(u2, со). Тогда / тонко непрерывна,

 

 

 

и

J 0

 

в

%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' “

\1

 

на

С Ѵ .

 

 

 

 

 

 

4.

 

О п р е д е л е н и е

1.5.

а)

Множество

е

назы­

вается

сверхразреженным

в

точке

х0 ф. е,

если суще­

ствует

функция а е Ф ,

такая,

что

и (х0)

конечно

и

и ірс) — >

- j- о о ,

X е= е ,

X — > Xq.

 

 

 

 

 

 

 

 

b) е называется полярным, если существует функ­

ция и е ф ,

такая,

что

и — -\- 00

на

е

и

« ^ ф м ,

c) е называется строго полярным, если для лю­

бого

непустого подмножества

е' а е

и любой точки

х е е '

 

существует

функция

н е ф ,

такая, что

н =

=+ оо на е' и и (.г) < + о о .

Точка .г называется полярной или строго поляр­ ной, если множество (я) является таковым.

П р е д л о ж е н и е І.б. Если множество е строго полярно, то е \ [х] сверхразрежено в х, \/х, и каждая точка из е является тонко изолированной точкой этого мнооісества.

Н е к о т о р ы е о т р и ц а т е л ь н ы е с в о й с т в а т о н к о й т о п о л о г и и . С тонкой топологией не столь удобно работать, как с обычными топологиями. Во многих приложениях встречаются следующие трудности2).

Предположим, как это обычно и бывает в при­ ложениях, что Ф С-замкнуто. Тогда для любого счет­ ного множества е, состоящего из строго полярных точек, множество е \ (л'0) будет сверхразреженным в ,ѵ'0 для любой точки х0.

') См. Bourbaki N.. Topologie générale, chap. 9. п° 5, теор. 2. —

Прим, перев.

2) Трудности, о которых говорит автор, связаны с тем, что, вообще говоря, тонкие топологии не удовлетворяют первой аксиоме счетности (существование для каждой точки счетного базиса окрестностей) и не локально компактны (см. упражне­ ния в конце п. 4), — Прим, перев.

16

Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

 

В самом деле, если обозначить точки из е, от­

личные от

х0, через

хп,

и

взять ип

ф, такие,

что

«я (А'п) == +

0 0 1 ип(-ѵ'о) =

1/2",

то

э = І1і(„еФ , причем

ѵ = 4- со на е \{.ѵ 0) и ѵ (х0)

конечно.

 

 

Обратим внимание на следующее

 

 

П р е д л о ж е н и е

1.7.

Если

Ф

С-замкнуто,

то

последовательность {.ѵ„}, состоящая из строго поляр­ ных точек, не может иметь тонких предельных точек, если только она не содержит постоянной подпоследо­

вательности, и

не может иметь тонкого предела,

если исключить

случай хп = const для всех доста­

точно больших п.

Пусть лг0 является предельным значением; если

нет

ни одной

постоянной

последовательности, то

хп Ф

ха при всех

п ^ N для

достаточно большого N ;

 

со

 

 

множество U (.ѵ„}

разрежено

в .ѵ0, и дополнительное

N

к нему множество является тонкой окрестностью х0,

не содержащей точек хп,

п ^ N .

Предположим теперь,

что хп - * х 0 и хп Ф х 0 для

бесконечного множества значений іѵ, если бы существо­ вала подпоследовательность хп ф х0, то множество

С { х „ р} было бы тонкой окрестностью х0, не содержа­

щей бесконечного множества точек хп.

У п раж нения . Предположим, что Ф С-замкнуто

ичто каждая точка строго полярна. Тогда:

i)Всякое счетное множество тонко замкнуто.

ii)Никакое бесконечное множество не будет тонко квазикомпактно.

iii)Если {х0} не является тонко изолированным, ТО' точка х0 не имеет счетного базиса тонких окрест­ ностей.

ѵі) Если тонкая топология (пусть отделимая) не дискретна, то она не метризуема.

5.Простейшие общие примеры из теории потен­ циала. Возьмем в качестве Ф множество всех клас­ сических супергармонических неотрицательных функ­

Гл.

I.

Общие понятия

разреженности и тонкой топологии 17

ций

в

R'1(п~^ 3)

и

функцию

+ оо.

В

качестве

£Г,

возьмем евклидову топологию.

 

 

 

 

 

Беря

специальные

супергармонические

функции

hXt{ x ) = \ x — х0 12-'1, видим,

что всякое открытое мно­

жество

есть

сумма

множеств

вида

{х | А*, (х) > а},

и

поэтому

£Г0 = £ Г Л ю б а я

точка

строго

полярна.

Kpo-jvie того,

известно, что

если функции

ип супер­

гармоничны

и неотрицательны,

то функция

^ ип так­

же супергармонична

 

или тождественно

равна +

оо.

Таким образом,

Ф

замкнуто

относительно

счетных

сложений, т. е. С-замкнуто.

 

 

 

 

 

Далее, элементарно проверяется,

что всякое поляр­

ное множество строго полярно и, значит, сверхразрежено в любой точке. Следовательно, все его точки тонко изолированы. Однако никакая точка R'1 не является тонко изолированной в R'!.

Нетривиальный пример разреженного множества (скажем, в R3) можно получить, беря объединение а

шаров Вг", хп-> х 0, с радиусами гП! удовлетворяющими

условию

 

со

 

пгп

< + оо.

/1=1 I х п Х0 I

 

Массы пгп в точках хп порождают ньютонов потен­ циал (супергармоническую положительную функцию),

конечный в х0, не меньший п на В[п и, следовательно,

стремящийся к + оо ңа а.

В начале гл. IX приведены различные простые примеры разреженности и неразреженности, которые можно было бы рассмотреть уже теперь. Однако мы сначала продолжим изучение общих свойств.

') Совпадение £Г0 и £Гt вытекает также

из того, что всякая

точка ,ѵ0 есть глобальный пик для hxt (x)

(см. п.

1). — Прим-

перев.

 

 

 

 

К'.,,

„ у

д fj

з\:зг

•>П'.,г

18 Ч. 1, Внутренняя тонкая топология

Глава II

П О Н Я ТИ Е П Р И В ЕД ЕН Н О Й Ф У Н К Ц И И .

П Р И М ЕН ЕН И Я . СТРО ГАЯ Р А ЗР Е Ж Е Н Н О С Т Ь

ИСТРО ГА Я Н Е Р А ЗР Е Ж Е Н Н О С Т Ь

1.В том же пространстве Q с конусом Ф рассмо­ трим множество е и функцию ф на й со значениями

из R+ = [0 , оо]. Определим

функцию

как

 

inf

и.

 

 

и е Ф, к > ф

па е

 

Отсюда вытекает,

что Р® =

0.

 

О п р е д е л е н и е II. 1.

Функция R% называется

приведенной функцией ') для ср на е.

 

Если e — Q, то будем писать R(S>вместо /?ф. Легко

устанавливаются

следующие свойства

приведенной

функции.

 

і)

Рф =

Рф-7,е>где %е— характеристическая функция

множества е.

 

іі)

 

Ѵ Я > 0 .

ІІІ)

^Фі+Фг ^

Рф, + Рф2.

іѵ)

Рф'иг!<

^ ' + R%.

ѵ)

Если Ф С-замкнуто, то

 

 

оо

Л = *І

') Это название было использовано в статье Брело [17] для аналогичного понятия, введенного Мартином [1] для граничного множества. В указанном в тексте смысле это название появилось впервые в Брело [14] и [20]. Если подвергнуть приведенную функцию полунепрерывной снизу регуляризации, то получится так называемая вьшетенная функция, которая использовалась в классической теории потенциала еще в работе Брело [8] под именем „экстремали“ (относительно дополнительного к е мно­ жества) (см. гл. VI). По поводу дальнейшего развития затро­ нутых в этой главе вопросов см. Брело [21].

 

Гл. II. Понятие приведенной функции

19

2.

Охарактеризуем разреженные в точке

х0ф е

множества е с помощью приведенных функций.

Те о р е м а II. 2. Множество е будет разреженным

вх0 в том и только в том случае, когда

inf 7?fna (л'о) < 1,

О

где о обозначает переменную окрестность точки xQ, иными словами, когда существует такая окрестность а,

что ^ пЧѵ'о) < 1-

 

 

 

Доказательство.

Пусть

е разрежено в х0.

Тогда

существуют окрестность а точки х0 и функция

н е Ф ,

такие, что и (х0) <

inf и (х). Пусть и (х0) < 1 < inf и (х).

а <= e t ] g

A s e f l n

Тогда R ina (х)^.и{х). Следовательно, R in° (х0)^ и ( х 0)< 1 ,

так что

R^Па (х0) <

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратно, предположим, что существует окрест­

ность а точки х0,

такая, что і^ Пп(.ѵ0) <

1,

тогда суще­

ствует функция и е ф ,

удовлетворяющая неравенствам

и (Л-0)<1

и

 

I на е{\а. Это показывает,

что е разре­

жено в х0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

II. 3. Если существует конечная

функция

и е ф ,

положительная в точке х0, то для

всякого

множества

е ф х0

выполнено

соотношение

inf ^

Па(х0) < 1 ,

 

где

а — переменная

 

окрестность

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точки х0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай,

когда

е

неразрежено

в х0.

В

таком случае

и(х0) =

= sup inf и(х).

Поэтому для любого Л,

0 < А < ы ( х 0),

сг

ера

такая

окрестность

а0, что

А <

inf и (х).

существует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е П сг0

 

Следовательно,

R ln<J°^ u , откуда A/?ina°<;« и/?іПа“(х0) ^

igC

.

Таким образом,

inf R fn° (х0)

и (х0)/А, и по-

Л

это

верно для

 

а

 

 

такого,

что

скольку

любого А, > 0,

А < и (х0), мы заключаем,

что inf /?іПо(х0)

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

II. 4.

 

Если функция ф конечна,

непрерывна

и

положительна в

точке

х0, х0

ф е,

то

Смотрите также файлы