Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 84

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

10Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

За м е ч а н и е . Будем говорить, что вещественная (могущая принимать бесконечные значения) функция f на топологическом пространстве имеет в точке х0 гло­ бальный пик, если для любой окрестности V точки х0

выполнено неравенство

su p / < / (x 0). Если предполо-

жить, что в топологии

сѵ

іГ , каждая точка х0 <= Q слу­

жит глобальным пиком для некоторой функции и е Ф, то iT l !=s=&~0. Действительно,, для любого ^ -откры ­ того множества со и любой точки xQе со имеем sup ѵ <

< Я < V (х0)

для

некоторой

функции ч е ф ,

так что

См

множество

{ѵ >

Я) является содержащейся в со откры­

той ^о-окрестностыо точки х0.

 

Т о н к а я

т о п о л о г и я .

Введем в Q еще одну то­

пологию, £Г, самую слабую из всех топологий, более

сильных, чем 0~х, для которых все

функции « е

Ф

непрерывны.

 

 

 

 

Так как множества вида (х |н (.ѵ) >

Я]

уже открыты

в топологии ѵ то класс открытых

множеств топо­

логии £Г порождается

 

 

 

 

i) всеми множествами, открытыми в 0~х,

 

ii) мнолсествами вида

[х \и (х) < Я), где ц е Ф,

а

Я — любое вещественное число.

 

 

 

О п р е д е л е н и е 1.1.

Топология

?Г

называется

тонкий топологией (или, более полно, внутренней тон­ кой топологией) в Q (связанной с классом Ф и топо­ логией Т , в Q).

О п р е д е л е н и е 1.2. Подмножество;? из Q назы­ вается разреженным (более полно, внутренне разре­

женным) в точке х0 ф е '),

если

либо

 

 

і) х0 ф. ё (замыкание в ST,),

либо

 

что

Ü) х0щ ё и 3 функция

и е Ф, такая,

и(х0) < iim inf

и(х);

 

(*)

еэх -> Хо

 

 

 

правая часть понимается

как

sup (

inf

и(х)), где

 

 

а

іее(1 о

сг — любая окрестность точки х0.

') Случай л'о е е будет рассмотрен в гл. V.

Гл. 7,

Общие

понятия разреокенности и тонкой

топологии 11

Если

принять, что

inf и по

пустому

множеству

есть +

оо, то предыдущий lim inf

всегда будет иметь

смысл,

и условия і и іі сводятся к одному условию (*):

в случае

і) можно взять

и = 0. Эквивалентное опре­

деление:

существуют функция и е Ф и окрестность а

точки

х0,

такие,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и(х0)

<

inf и (X).

 

Заметим,

что

е не

будетj е г П а

разреженным в точке

х0ф е

в

том и только в том случае, когда для лю­

бой функции в е ф

 

 

 

 

 

и (х0) = lim inf и (х).

В этом случае будем говорить, что е неразрежено

вх0.

2.Простейшие свойства, і) Всякое подмножество множества, разреженного в х0, будет также разрежен­ ным в х0.

ii)Конечная сумма разреженных в х0 множеств будет также разреженной в х0.

iii)Для некоторой подходящей окрестности а точки х0 множество е (] о содержится в открытом множестве б, разреженном в Х д ^ б 1).

Будем пользоваться терминами тонкая окрест­ ность, тонкое замыкание (обозначаемое через ё для множества е), тонкий предел и т. д., когда речь бу­ дет идти об окрестностях, замыкании, пределе и т. д. в тонкой топологии.

Т е о р е м а

1.3

(А.

Картан2)).

Тонкие окрестности

точки х0 совпадают с множествами вида С е ,

где е —

разреженное множество в х0, х0 ф е.

 

Доказательство.

Предполжим,

что е разрежено

в х0,

и

покажем,

что

С е

содержит

тонкую

') В качестве б можно

взять

множество {,v| и (х) > а}, где

и(хо) <

а <

inf

и (.ѵ). — Прим,

перев.

 

 

 

 

xi=efto

 

 

 

 

 

2) А. Картам доказал эту теорему для случая классической' теории потенциала (см. [2J, гл. VI).

12 Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

окрестность х0. Существует функция и е Ф, такая, что u(x0) < s u p ( inf и). Следовательно, существует не-

а.t e e flo

которая

окрестность

а точки х0, такая, что

и (х0)

<

< Я <

inf и (X). Рассмотрим множество Е — (х \и(х) <

< Я ] . j e e d o

открыто

в

топологии

ЧГ

и

х0е £ \

 

 

Оно

Так

как

на

е (] а,

то

Е

[\е (}о =

0 ,

т.

е,

Е П ст с

Се.

Но а

я

Е являются

окрестностями

х0

в топологии ЧГ. Следовательно,

Се — тонкая

окрест­

ность

х0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратно, допустим, что У — тонкая окрестность х0,

и покажем,

что С У

разрежено, в дг0.

Множество

У

содержит тонкое открытое множество Е , содержа­

щее х0. Предположим, что

Е есть £Г,-окрестность

точки х0. Тогда х0 ф С У

и,

следовательно, С У раз­

режено в х0 согласно і).

Если же Е — не £Г,-окрест­

ность х0, то Е содержит пересечение ^-открытого множества (которое, возможно, совпадает с Q) с ко­ нечным числом множеств вида (х | и (х) < Я}, содер­ жащих х0. Их дополнения, очевидно, разрежены в х0. Так как их конечное объединение также разре­

жено,

то Е

будет

разреженным

в х0. Но С У с

С Е ,

и поэтому С У

также разрежено в х0.

 

 

З а м е ч а н и я ,

і) Тонкая изолированная точка

множества

е — это

такая точка х из е, что множе­

ство е \ (х)

разрежено в х.

 

 

 

 

іі)

ë = e\J (множество тех точек

из

С е , в

кото­

рых е

неразрежено}.

 

 

 

 

У п р а ж н е н и я .

1) Будем называть базис филь­

тра 58, сходящийся к х0, разреженным в х0, если

существует

и е Ф,

такое, что

и (х0) <

lim inf и —

= sup (inf и). Показать, что

 

 

а

 

 

 

 

 

ап S3

а

 

 

 

 

 

 

 

а)

Разреженность множества

е в

точке

х0^ е ,

х0е ё, равнозначна

разреженности

базиса фильтра,

определяемого

пересечениями

е с

окрестностями

точки х0.

ß) Необходимым и достаточным условием разре­ женности 58 является существование множества е е 58, х0 ф- е, разреженного в ха.

Гл. 1. Общие понятия разрезісенности и тонкой топологии 13

2)(Г. Бауэр) Рассмотрим выпуклое множество Q

вотделимом топологическом линейном пространстве

и множество Ф всех конечных неотрицательных по­ лунепрерывных снизу вогнутых функций на Q, до­ полненное еще функцией -f- оо. Следующие утверж­

дения

эквивалентны:

 

 

 

a) л:0 является крайней точкой Q;

 

ß)

С { х 0} разрежено

в х0 (даже

строго разрежено,

см. гл. II);

 

 

 

 

у)

неравенство

«, ^

и2 для двух конечных функ­

ций из

Ф, выполняющееся на Q \

(х0), не влечет за

собой соответствующего неравенства х0.

 

3.

 

Некоторые свойства тонкой топологии.

Т е о ­

р е ма

1.4. а) Если

топология Г {

отделима, то

та­

кой оке будет Г .

 

 

 

 

b)

Если топология Г , регулярна, то такой

оке

будет Г

(более того, даже если Г

[ неотделима,

но

всякая Г ^-окрестность х0 содержит замкнутую ок­ рестность, то всякая тонкая окрестность х0 будет со-

дерокать ГГ [-замкнутую тонкую

окрестность). Если

ГГ \ локально компактна'), то (Q,

ГГ) будет бэровским

пространством.

c) Если топология ГГ, равномеризуема, то такой оке будет Г .

Доказательство, а) Это очевидно, так как ГГ силь­

нее, чем Г [.

 

Ь)

Рассмотрим тонкую

окрестность V точки Со­

существует и s Ф, такая, что в некоторой ^ -о к р ест ­

ности о

точки х0 будем иметь

и(х0) < inf и (у).

 

»

у <=CKfia

Пусть %— произвольное вещественное число, лежа­ щее между двумя’ членами последнего неравенства, и Е = [х I и (х) О А,). Это множество £Г,-замкнуто и является тонкой окрестностью х0; кроме того, Е Г) оczV. Далее, согласно предположению, существует ^ - о к ­ рестность о1 точки х0, замкнутая и содержащаяся в а;

’) Можно потребовать лишь, чтобы всякая Г ^окрестность точки .ѵ'о содержала квазпкомпактпую (т. е. обладающую свой­

ством покрытия, но, возможно, неотделимую) Г і-окрестность. Доказательство аналогично.

14

 

\

 

 

Ч. 1. Внутренняя тонкая

топология

 

 

тогда £■ П сг,

содержится в Д Лет с: К, £Г(-замкнуто и

является тонкой окрестностью х0.

 

 

Предположим теперь, что

\ локально компактна.

Рассмотрим

последовательность

тонких

открытых

множеств сод, каждое из которых плотно в Q (в тон­

кой топологии), II покажем,

что

П сол также

плотно

в тонкой топологии, т. е. что

(П с°л) П со

 

0 для

любого тонкого открытого множества со ф 0 .

В мно­

жестве со! П со, которое непусто,

выберем

точку .ѵ, и

возьмем ее тонкую £7"^замкнутую окрестность. Пере­ секая ее с компактной окрестностью, получим х- компактное множество К, с непустой тонкой внутрен­ ностью ccj. В сооП<?і аналогичным образом найдем компактное множество К? с тонкой внутренностью

йоф 0

и т. Д. Мы получим СОП /<", ГО а, = 0 С02П 0-1 го

ZD Кч

сь 13 м! П а2

•• • • Следовательно, со,, П со о со„ П

П

Кп =>

и/ fl сол] (1 cö =

f l

(со„ Г) со) го f)K i Ф

 

і

\ п I

п

і

ф0 .

с) Достаточно доказать следующее.

Пусть V — какое-либо тонко открытое множество, содер'жащее хй. Тогда существует тонко непрерывная

функция, равная нулю в х0,

1 в С К

и принимающая

значения только из [О, 1].

 

 

 

 

 

Так как С Ѵ разрежено в х0, то существуют функ­

ция

н е

Ф

и

некоторая окрестность

а

точки

х0> та­

кие,

что

 

 

inf м =

А >

и {х0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СѴПО

 

 

 

 

 

 

 

Положим

их— inf (и, X).

Эта функция

будет

тонко

непрерывной. Пусть, далее,

 

 

 

 

 

 

 

Щ=

д _ "

(Хоу

[ s u p ( «

ь

и

и( *(олг)0) ] —.

 

Функция

и2 тонко

непрерывна

и принимает зна­

чения

из [О,

1].Кроме

того,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ІІ2—

0

в

х0,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

на

С 7 Л сг-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы