Файл: Бете, Г. Теория ядерной материи.pdf

172 Часть II. Количественная теория ядерных сил

определенное соотношение между относительными фазами частей волновой функции, соответствующими различным альтернативным ориентациям спина, а такого соотношения не существует для неполяризованного пучка. Подобное положение известно в классической электромагнитной тео­ рии света, в которой плоская волна записана в виде

Е = Re [(але! + а„е3) е''<ь-«0],

и фазы которых определяются коэффициентами ах и ау.

Для нуклонов или электронов, т а к ж е как и для света, имеются только две альтернативные возможности для на­ правления поляризации. (Фотоны имеют спин S = 1 и по­ этому должны были бы иметь 25+1 = 3 возможных направ­ ления поляризации, но требование поперечности электро­ магнитных волн сводит это число к двум, т. е. к тому же значению, что и для частиц со спином 1 / 2 . ) Спиновую часть волновой функции пучка частиц со спином V2 можно записать в виде вектора-столбца с двумя компонентами, каждая из которых определяет амплитуду и фазу возмож­ ного типа поляризации (или ориентации спина)

Здесь вектор-столбец представлен в виде разложения по двум нормальным и ортогональным функциям <рх и <р2, являющимся собственными функциями спина, например, указывающими; что направление спина совпадает с напра-

влением некоторой оси в пространстве или противоположно направлению этой оси. Функции tplt 3 подобны функциям а и р, использованным в § 10, п. 7; они являются соб­ ственными функциями оператора Паули о2 ) где ось z вы­ бирается в произвольном направлении. Интенсивность пучка, очевидно, равна сумме вероятностей двух альтернативных поляризаций

Это выражение можно записать также в следующем виде:

i=l,2

где индекс <ф> введен для обозначения величины, получен­ ной путем комплексного сопряжения каждого элемента вектора (или матрицы) и замены строк столбцами. Таким образом, вектор-столбец ф становится вектором-строкой ф/f, состоящим из комплексно-сопряженных компонент. Интен­ сивность / является скалярным произведением двух век­ торов Ф,т и (!» в двухкомпонентном спиновом пространстве.

Информацию, которую нам дает вектор-столбец волно­ вой функции ф, можно записать в другом виде, который, однако, пригоден для записи пучков с любой степенью поляризации. Для описания системы используем вместо / следующую двухрядную квадратную матрицу p4j-:

174 Часть 11. Количественная теория ядерных сил

Степень поляризации вдоль оси квантования Ъпределяется относительной долей пучка, ориентированного в на­ правлении оси z,

и может быть записана в компактном виде

Р--Ч№- <17-8>

Пучок полностью характеризуется интенсивностью, сте­ пенью поляризации в данном направлении и относительной фазой величин ах и а2, которая определяется недиагональ­ ными элементами р. Матрицу р всегда можно привести к диагональному виду. Но недиагональные элементы не могут обращаться в нуль, за исключением того случая, когда ау или а2 обращаются в нуль, так что матрица всегда имеет вид

В этом смысле пучок, представленный такой матрицей р, которая составлена при помощи определенной некоторой волновой функции, всегда является полностью поляризо­ ванным.

Для описания пучка в более общем случае мы должны лишь усреднить матрицу плотности, скажем, по ^-состоя­ ниям, каждому из которых соответствует матрица плот­ ности р(°) и вес w(a)

N

Матрица плотности р в этом так называемом смешанном случае (определенная волновая функция отсутствует) ме­ нее ограничена. Например, р 1 2 может обращаться в нуль, в то время как р 1 Х и р 2 2 остаются конечными благодаря сокращению недиагональных членов р<£> в различных мат­ рицах. Результирующая матрица р дает наиболее общее описание спиновых свойств пучка частиц со спином 1 / 2 . Так как любую двухрядную матрицу можно представить в виде линейной комбинации матриц Паули (и единичной

прямой физический смысл. Заметим, что полная интенсив­ ность пучка выражается следующим образом:

/ = Sp (р) = 2а,

так как Sp [(cm )] = 0. Степень и направление поляризации определяются вектором Р. Из формулы (17.11) и цикли­ ческих соотношений между матрицами Паули

ахсу = — ауах = ia. при а2 = с2, = о\ = 1

можно получить выражение для компонент Р в следую­ щем виде:

где индекс m обозначает компоненту вектора в направле­ нии т. Таким образом, матрицу плотности произвольного пучка можно записать, опуская черту усреднения на р, следующим образом:

Таким способом произвольный пучок частиц со спином г / 2 можно охарактеризовать четырьмя вещественными и из­ меримыми числами / и Р (см. Толхук и Де-Гроот [76] или Мак-Мастер [54]).