Файл: Белостоцкий, Б. Р. Тепловой режим твердотельных оптических квантовых генераторов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 71

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Для получения распределения температур по сече­

нию образца

следует

воспользоваться связью (5-9)

между Ѳ(*ь хг, х3, Fo) и ѲДхц х2, х3, Fo).

 

 

П е р и о д о х л а ж д е н и я .

В

соответствии с (5-9)

и (5-36)

к концу периода

накачки в активном теле фор­

мируется

температурное

поле,

описываемое

соотноше­

нием

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0„(x.,.v,, л'

~і/' 14-АфѲ

(х,,

х2, л'з,

Fo„)

I

Fo„) = —-------------■■=------------------------- .

, . v

-

3 .

а /

 

 

[ / 1

+ к ф - \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5-37)

Температурное поле в процессе последующего охла­

ждения определяет решение системы уравнений:

 

с. (Ѳ) р, д&(-Л‘-

 

- - °- =

div Я, (Ѳ) grad 0 (х,, х3, х3, Fo);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5-38)

0(л„

лц,

л-3, 0) = Ѳ„(л-,,

х3,

х3, Fo.,); Fo — 0;

(5-39)

 

 

 

'<ЭѲ(х,,

х2, x3,

Fo)

dF

 

 

 

 

 

 

 

PFo

 

-

 

 

 

 

I

1Лв)

 

 

wji

 

 

=[ Ві,[0(л-„ x„, x3, Fo)],„|(tdFI( k = \ , 2...). (5-40)

Указанную систему можно линеаризировать тем же путём, что и систему (5-16)'—(5-18). Для этого восполь­ зуемся соотношениями (5-1) и связью (5-28). В резуль­ тате получим следующую линейную систему дифферен­ циальных уравнений:

РѲ*(х„

X,

х „ / о ) _ =

^ _

20ф (

X»,

x 3,

Fo);

(5-41)

 

PFo

 

 

 

е

ѵ

4 1

Ѳф (д :І , х £,

х 3,

 

O) =

0 * ( J C „

х „ ,

х-і,

Fo„);

Fo = 0;

(5-42)

__

f l "

0ѲФ (X,,

х2,

Хз,

Fo)

w,hdF, =

 

 

 

J

L

 

PFo

 

 

 

 

= J &хВій [ѲФ(х„

x,,

x3,

Fo)\WthdF,

( k = l ,

2...). (5-43)

l,fc

Если отыскивать решение в виде (5-30), то найден­ ные значения коэффициентов полинома D(xi, х2, х3) при 120

решении задачи для периода накачки сохраняются в рассматриваемом промежутке времени, а коэффи­ циент C(Fo) находится из следующего интегрального

соотношения:

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

д¥до - |ѳ ф(;сІ,

л„,

х3, Fо) clVt =

 

 

 

 

 

 

 

V,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

7 ][]

I

1хВф[ѲФ(л:,,

Л'2І

х3, Fo)]w,kdF,.

(5-44)

 

 

I

F,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (5-44) с учетом (5-30)

следует:

 

 

 

 

 

 

С (Fo) = С 0ехр

 

-=-K'-Fo }■

 

 

(5-45)

 

 

 

 

 

 

 

 

е

У

 

 

 

Окончательно для периода охлаждения одиночного

цикла можно записать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j*®0 (J'n

X u

Х 3) D (

х

Хг ,

Х 3) (ІѴ,

0 Ф (Л ',,

Л ',, л 'з,

Fo) =

V,

 

 

 

 

 

 

■+

 

 

| о

2 ( Х , , Х а,

х 3)

dV,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V,

 

 

 

 

 

 

КІФ (х,,

х2, х 3) dV, Fon

КіФ(Fo) exp \[-J«F K'FO/

 

 

JV,

D (х,,

хг, х 3) dV>

■}

dFo

X

^

XD(x„

x2,

л'з)

exp

 

 

 

 

 

 

 

(5-46)

 

— = - K '

(Fou +

Fo)

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

Ч а с т о т н ы й

режим.

Для

получения общего ре­

шения в частотном режиме проследим развитие темпе­ ратурного поля в т-м цикле. Так как процессы измене­ ния температуры протекают при переменных теплофизи­ ческих характеристиках, то аналитическое исследование вопросов связано с нелинейными дифференциальными уравнениями и нелинейными граничными условиями III рода. В этом случае нарушается принцип суперпози­ ции температурных полей при чередующихся периодах накачки и охлаждения. Поэтому прямое приложение результатов, полученных в рамках линейных задач, становится неправильным. Однако если с помощью ряда

преобразований и соответствующего выбора вида новой переменной удается линеаризировать задачу, то для этой новой переменной применение принципа суперпози­ ции температурных полей будет оправдано. Учитывая это замечание, при рассмотрении вопроса о температур­ ном поле в произвольном т-м цикле будем определять не температуру Ѳ(хі, хі, Л'3> Fo), а ее интегральный ана­ лог Ѳф (хі, кг, Хз, Fo), введенный по соотношению (5-1).

Распределение Ѳф (л',, х,, х3, Fo) в течение т-то

периода накачки определяется решением уравнения (5-19) с граничным (5-20) и следующим начальным условием:

Ѳ*т С*.. х„ х„ 0) = ѲоФж_іг(х„ хѵ x lt Fo0); Fo = 0.

(5-47)

Проводя вычисления, аналогичные выполненным при решении системы (5-19) — (5-21), получаем:

 

Fo) =

j" ®ШІ_I (^I > •'“2, -Тз,

Р°о) Р (^"1, ^2, -’-з) d V I

V,

+ АѲГ (Fo) X

^ £ > 2 (х,,

х 2, гхэ) d V x

V,

 

где

ДѲФ

X D ( x x, хг, Л'3)ехр( —— K'Fo),

J KI* (X,,

х2,

х 3) с ! Ѵ , ро

V,

 

f

КіФ(Fo) exp f І

Р-----------------------

x„

f D (x,,

x 3 )dVx J

"*v ' 4

*

 

П

Vi

 

 

 

(5-48)

K'Fo ) dFo

*J

(5-49)

Систему уравнений, формулирующую задачу для последующего периода охлаждения, представляет собой система (5-41) — (5-43), в которой начальное условие (5-42) записывается в форме

I, х ѵ х3, О) = 0Фт (л:„ х„ xt, FoH); Fo = 0; (5-50)

где ѲФт (х,, л:2, ха, Fo4) определяется выражением (5-48) при Fo=FoH,

Опуская промежуточные выкладки, запишем ре­ зультат

$ Ѳнш (*1. *2, х 3’ F°n) D (xu X t , X 3) dVl

Ѳ®' (x„ x2, x3, Fo) =

—---------3----------------------------------

 

X

 

0 * ( * 1 . X * . * . ) < № .

 

 

M

_

 

ХЩ-Ѵ',, л'2, л-3)ехр^— Ъ-K’Fo^j.

(5-51)

Экспоненциальные

множители при ЛѲ* (FoH)

образу­

ют убывающую геометрическую прогрессию, что позво­ ляет выражения (5-48) и (5-51) полностью определить через параметры первого цикла:

^ (XJ , х 2 , х 3) D {хj, х2, хэ) dV,

Ѳ*м(л„

х2,

х3, Fo) ==

j

U- (x,,

x2, x3) dVt‘

-X

 

 

 

 

 

 

 

V,

 

 

 

 

 

Х ехр

— ѣ к ' ( m - l)Fo4 +Д Ѳ * (Fo) +

A0* (FoH) X

 

 

£

K’ (m — 1)Fo„)

 

 

 

 

 

— exp (—

 

 

 

 

 

X

 

 

 

X

 

 

 

 

exp ( - l l K’FОд )— 1

 

 

 

 

 

 

'XD(x1, x2, jcs)exp(

— b-ZC'Fo);

(5-52)

 

 

^

1

Xg) ^

(X j > X z t Xg) ^

I

Ѳ (-T,, x2, x 3, Fo) — Ki

j’.D2 (x1,

x2,

x3) d \ \

X

 

 

 

V,

 

 

 

 

 

 

 

Xexp — 4* K ' { m - l)Fo4

+

 

 

 

 

1 — exp I - h . K ' F o nm)

 

 

 

+

АѲ* (FoB)

\

•

 

/

X

 

 

 

1 — exp 1' — Ж к ' Г о Л

 

 

X

D (x i> x °> х з) exP

- - 4 /C ' (Fou -f-Fo)

(5-53)

123

С помощью полученных выражении удается просле­ дить развитие температурного поля от 1-го до т-го цик­ ла работы ОКГ.

С увеличением т распределение öm стремится

к квазистационариому. Температурное поле в квазистационарном режиме не зависит от номера цикла, причем влияние начального распределения Ѳ0(.ѵ'ь хг, *з) на про­ филь температурного поля и на его уровень не проявля­ ется. Выражения (5-52) и (5-53) для квазистационарного режима принимают вид:

Л'=,

 

-V F o):

4®*

(Fo„)

X

 

1— exp

—

Д К'Роц

 

 

 

 

 

Х 0(л',, лы, л-,)ехр

Ѣ к Т о );

(5-54)

Ѳооо(Л4-

Х »

л'з- F°):

4®,Т,

(Fou)

X

—_

V

e /\'Fо,,

 

 

 

 

 

 

 

exp ( —

 

X D (x „

 

xt, л*,) exp

----Л"' (Fo„ -J-Fo)

. (5-55)

Для нахождения истинного распределения темпера­ туры следует воспользоваться (5-9).

Изложенное выше позволяет проанализировать ре­ жим работы ОКГ сериями. Используя соотношения вы­ веденные для произвольного цикла квазинепрерывного режима работы, получаем для т—1-п серии при Fö = Foc

 

 

 

 

л'*’ л'з>' Fo„) =

j" ®о

л2'

л"з) D (х ,,

Х ц х 3) d \ \

- — —р----------------------------------

D2 (je,,

 

D{Xj, х„ л'3) Х

\

х г, х 3) dV,

X ехР

=

К' (пг — 1) Foc +

1 — ехр

— А

д ' (,и— l)Fo0

+ -

е

 

 

<?*0(хіг х2, ха). (5'56)

 

 

 

1 — ехр

_ A /C 'F o c

 

 

 

S

 

154

Смотрите также файлы