Файл: Белостоцкий, Б. Р. Тепловой режим твердотельных оптических квантовых генераторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 73
Скачиваний: 0
С учетом теплоотвода в период накачки • темпера турное поле Ѳ(д'і, а'2, л'з, FO) при зависимости тепло
физических характеристик от температуры определяет ся решением следующей нелинейной системы:
с, (Ѳ) р, (Лі’ gpo - , , -Fo) = div Я, (0) grad 0 (л:,, л,, x3, Fo)+
+ |
Кі(^і. |
-*3> Fo); |
|
|
(5-16) |
||
0(лу, л2, л,, |
О) = 0о(л'„ |
л',, |
л-,); |
Fo = 0; |
(5-17) |
||
|
йѲ (\і, |
Xn, |
х3, |
Fo) |
|
dF, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д п . |
|
. |
w, |
к |
|
|
xa, Fo)\w,hdF, |
(k— 1, |
2... ). |
(5-18) |
|||
Если ввести в рассмотрение интегральные аналоги вида (5-1), то последняя система принимает вид:
х г, |
хз, |
Fo)_= |
Л(Ѳф)ѵ =0 |
ф (л.|; |
л.2> |
F o) - j - |
||||
PFo |
|
+ |
КІФ(Л'1, л2, Л 'з, Fo); |
|
(5-19) |
|||||
|
|
|
||||||||
Ѳф(л',, |
л,, |
л'з, 0) = |
Ѳф(х,, х„, |
х3), |
Fo = 0; |
(5-20) |
||||
__ Г Г |
с>0 |
ф (je,, хг, |
Xj , |
Fo) 1 |
^ |
__ |
|
|||
J |
L |
|
d?o |
|
J,o,ii |
1 |
|
|||
Fl, h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= I £хВіл[Ѳф(х,, |
x2, x3, |
Fo)\WtkdFl ( k = |
1, 2...), |
(5-21) |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л(ѲФ) |
|
К (Ѳ) |
. TTj®__ |
qL* |
|
|
||||
|
с, (Ѳ) р, |
’ |
14 |
Фт —.Ф, ’ |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
[Ѳ ( X , , |
Хг, |
Х Э1 |
Fo)]tUift |
|
|
||
|
|
|
[Ѳф(х,, |
х2, х3, Fo)]«,^ |
|
|
||||
Представим |
величину Д(0)Ф следующим образом: |
|||||||||
Л(0)ф= 1 + / г а0ф + |
^ 0 ф5 + |
... = |
1+ £ аѲФ, |
(5-22) |
||||||
116
где коэффициент /е„ определяется из условия минимума среднеквадратичного отклонения (5-22) во всем интер вале изменений Ѳ(л'і, х>, х3, Fo) от 0 до 1
|
|
К = |
з |
з |
|
|
|
(5-23) |
|
|
|
|
|
|
|||
С учетом (5-22) уравнение (5-19) приближенно мож |
||||||||
но заменить следующим: |
|
|
|
|
|
|||
(5ѲФ (,ѵ,, |
л'2, |
х 3, Fo) |
I |
у20ф(л-,, X |
хѵ Fo) -j- |
|
||
|
öFo |
|
|
Т" |
|
|
|
|
|
|
+ |
КіФ(х1, А'г, х3, |
Fo), |
(5-24) |
|||
в котором e — среднее значение |
|
|
|
|||||
- |
1 |
/е„Ѳф |
|
|
|
|
(5-25) |
|
|
|
2 |
‘ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сопоставления значений e и e показывают, что при |
||||||||
ka = —0,5 различие |
между |
ними |
не |
превышает |
17%. |
|||
Однако в большинстве реальных случаев величина Іга меньше. Например, в области комнатных температур для рубина и стекла при (Тт—Гс),<50°С максималь
ное значение ka не |
превышает соответственно |
—0,20 |
и —0,05. В области |
низких температур 7С<100 |
К, не |
смотря на более сильную температурную зависимость теплофизических характеристик, величины ka такого же порядка, что связано с меньшим перепадом температур Тт—Тс. Для |£а| < 0 ,2 замена е на е приводит к рас хождению их величин не более, чем на 6%.
Приближенную линеаризацию системы дифферен циальных уравнений (5-19) — (5-21) завершим, предста вив коэффициент ех в соответствии с (5-5) в виде
(5-26)
I _ 9 ® (^-1> |
Fo) |
При изменении Ѳ(х,, х,, xt, Fo) от 0 до 1 величина изменяется в пределах
< 1 |
(5-27) |
1
что позволяет приближенно заменить коэффициент ^ его средним значением
\ = 1 —-J-- |
(5-28) |
117
Определение численных |
значений £х и £х показывает, |
||
что |
расхождение между |
их значениями не |
превышает |
13°у„ |
при |^х| — 0,5. В реальных случаях |
значения kx |
|
меньше указанного. В частности, в диапазоне рабочих
температур 300 — 400К для рубина, вольфрамата каль ция и стекла /ех имеют соответственно следующие зна
чения: —0,244; —0,047; 0,146. Следовательно, расхож дение значений ?х и ^ не превышает 6; 1,2 и 3,5°/„.
Так как для переменной ѲФ система, включающая (5-24), (5-20) и (5-21) с учетом (5-28), линейна, то использование приближенных методов решения в прин ципе не отличается от рассмотренных в гл. 4.
Обобщенное интегральное соотношение теплопровод ности в этом случае принимает вид:
|
|
|
|
|
X,, |
JC„ |
Fo)dV?=. |
|
|
|
|
k |
V, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
J ?xBift [^ (x ,, |
X , A-3, Fo)]u,iftdF, + |
|||||
|
|
1 F,.K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
^ КіФ(х., |
x , |
Л'з, |
Fo)dV,. |
|
(5-29) |
|
|
|
V, |
|
|
|
|
|
|
|
Если |
искать |
решение |
Ѳф(лг,, |
х 2, Xj, Fo) в форме |
|||||
|
ѲФ(х1, |
X , |
|
F0) = C(FO)£>(JC„ |
X , xs), |
(5-30) |
|||
где D ( x i , |
Xi, |
x 3) |
— полином вида (4-7), то |
коэффициен |
|||||
ты в решении (5-30) |
можно |
определить, подставив его |
|||||||
в граничные |
условия |
(5-21) |
и |
в соотношение |
(5-29). |
||||
В последней операции дополнительно приходится инте грировать уравнение
Кіф(Fo) |
Кіф(*і- *а. я* ) d-V, |
|
J C g £ - + K C { Fo) = --------------------- |
:--------------- |
(5-31) |
D ( x „ Х г , x 3) d V ,
V,
где
k
f ^ Bih[0(x,, x2. x3, FC W F,
------------------------------------ = ѣ к ' . (5-32)
J D ( x „ X-, X3 ,) rfV;
V,
Решение у р а в н е н и я |
(5-31) принимает вид: |
|
||||
|
j |
Кіф (х,, |
х 2, х а) dV, |
Fo |
|
|
С (Fo) = |
J |
' |
' |
|
|
|
"Т— --------------------- |
f |
Ki*(Fo) X |
||||
|
J. D ( x l t |
x2, x3) d V x |
оJ |
|
|
|
X exp( ~ |
K'Foj dFo exp H?x K'Fo |
). |
(5-33) |
|||
■Постоянная интегрирования C0 обращается в нуль, если к моменту начала работы прибора в стержне уста навливается однородное распределение температуры, равное температуре охлаждающей среды. Если же при
Fo = |
0 функция ѲФ(хі, х2, Хз)=т^0, то постоянную С0 сле |
дует |
находить из условия минимума функционала |
8 { [ѲФ(^ , jct, xs) - C0D(Xl, хя, xt)\adVt = 0 , |
|
(5-34) |
||||
V, |
|
|
|
|
|
|
откуда |
следует |
|
|
|
|
|
|
J 0Q (Xj, Xj, x2) D (X|, x2, X3) rfVj |
|
|
|||
|
C0 = -^------ =--------------------------------- . |
(5-35) |
||||
|
\ |
D- (Xj, x2, X3) dVj |
|
|
|
|
|
V, |
|
|
|
|
|
Окончательно можно записать: |
|
|
|
|||
|
|
(XJ, |
x 2, X3 ) D (Xj, x2, |
X3 ) d V j |
||
Ѳф(л„ |
x,, xs, Fo) = |
V, |
|
|
|
|
f |
D 2 (X,, x 2, |
x 3) dVt |
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
І |
|
|
|
|
| к і ф (х ,, x 2, Xj) d V t |
Fo |
_ |
|
^ |
|
|
---------------- |
f КіФ(Fo) exp( j* |
K'Fo ' dFo |
X |
|||
j |
D (X ,, x2, Xj) dV 1 |
j |
V e |
|
j |
|
Vi |
|
|
|
|
|
|
|
X,D(Xl, x,, |
-S,)exp( —-Ь-/СТо |
|
(5-36)" |
||
119