Файл: Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 119
Скачиваний: 0
На контуре Lx, кроме того, выполняются условия не
прерывности векторов напряжений и смещений. |
||
Искомые компоненты полных |
напряжений в области |
|
S 0 + Si |
могут быть представлены |
в виде сумм двух сла |
гаемых: |
|
|
X xl)= X i 0) + Xx\ Y yl) = Y y0)( + Y a; |
Х У{1) = Х У{0) + Х У, (4.5) |
|
где Х х( \ |
Yy0), X y0) — начальные напряжения, действующие |
|
в ненарушенном массиве; Хх, Yy и Ху — дополнительные |
||
напряжения, вызываемые наличием в массиве ослабляющей его выработки.
Начальные напряжения Х*0), Yiy ) и Х^0> удовлетворяют той же системе дифференциальных уравнений равновесия (4.1) при условии совместности деформаций (4.2) и гранич ных условиях
4 0) = 0; Х*0) = 0 на L0.
В качестве частного решения неоднородной системы
можно взять следующее: |
|
^ 0) = Y(1 |
Y y0)l = l y { l - f ) ( x - H y , Х<°> = 0, |
|
(4.6) |
где | — коэффициент бокового давления породы. Составляющие дополнительных напряжений, обуслов
ленных наличием выработки, Хх, Y,, и Х у удовлетворяют
вотличие от полных напряжений Хх , Y ^ и Х ^ однород ной системе дифференциальных уравнений равновесия при том же уравнении совместности деформаций и обращаются
внуль на бесконечности.
Граничные условия для дополнительных напряжений Хх, Yy и Ху следующие:
X* = 0; Х у = 0 на L0; |
(4.7) |
Хх cos (п, х) + Ху cos (п, у) =
= |
Y (1 /) {х Н) cos {п, х) |
на v |
Ху cos (я, х) + Yy cos (п, у) =
-— &Y ( 1 — Ж * — Я ) c o s ( я , у)
Пренебрегая в окрестности выработки величиной ор динаты х по сравнению со значительно превосходящей ее
5 Зак. 488 |
129 |
величиной заглубления Я, получим на Lx \ |
|
Х х cos (п, х) + Х у cos (п, у) = уН (1 —/) cos (п, х); |
1 ^ |
Х у cos (я, х)-f Fy cos (п, у) — 1уН (1—f)cos(n, г/). |
J |
Условия на границе Ьх будут даны ниже.
Поскольку нас интересует напряженное состояние вблизи Ьъ учитывая, что рассматриваются случаи относи тельно глубокого заложения выработки (величина Я намно го превосходит ее размеры), мы отказываемся от точного выполнения условий (4.7), т. е. определяем напряжения Хх, Yy и Х у, действующие не в полубесконечной, а в бе сконечной области, ограниченной контуром Lx .
Таким образом, решение поставленной задачи сводится к рассмотрению однородной системы дифференциальных уравнений равновесия при уравнении совместности дефор маций и граничных условиях (4.9), причем на контуре Ьх должны выполняться условия непрерывности векторов
напряжений и смещений. |
|
|
<рг (г), |
|
Введем функции |
комплексного переменного |
|||
фг (z) (i — 0,1), регулярные |
в соответствующих |
областях |
||
S t и обращающиеся |
в ноль |
на бесконечности. |
При |
этом |
поставленная задача теории упругости сводится к краевой
задаче |
теории функций комплексного переменного [52] |
|||||
при граничных условиях |
|
|
|
|||
ф0(о + |
+ % |
( о = Фх(о+ t(fi w + Фх(о |
|
|||
— к |
Ф<>(о— ^Фо(0— “Фо (о] = |
|
|
на Lx, |
||
|
= — к |
Ф1 (0 —*фП 0 —к |
(*)] |
(4.10) |
||
|
Рх |
|
|
|
|
|
Фх(0 + |
^ i( 0 + Фх(0 = *’J (Хп+ iY„) ds |
С на Lx. |
||||
|
|
|
tО |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь %i = |
3 — 4v; (i — 0,1); |
v* — коэффициенты Пу- |
||||
ассона; |
рг- = |
Ei |
— модули |
сдвига; |
г- |
|
^ + |
Ег — модули |
|||||
деформации материалов сред Si.
Определим входящее в правую часть последнего гранич- t
ного условия (4.10) выражение i § (Хп + iYn) ds на Lx' . to
130
Из (4.9) следует, что |
|
|
|
|
|
Х п + iYп = уН (1 —/) [cos (п, |
х) + И cos (п, у)]. |
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
(Xn^ i Y n) ds = уН (1 —/) |
cos (n, х) + cos («, л;) + |
||||
+ 1 г'1 cos (п, у) + |
it cos (п, d ) + j i |
cos (и, г/)- |
|||
--^icos (п, у) + |
geos (п, х) — — geos (п, х) |
ds = |
|||
= уН (l — f) [cos (п, х) + |
i cos (п, у)] + |
^ [cos (п, х)- |
|||
—i cos (п, г/)] + |
t [cos (п, х)+ i cos (п, у)]— |
||||
— — t [cos (п, х) — i cos (п, |
ds- |
|
|||
= уН ( l — f) 1^ |
[cos (п, х) + i cos (п, у)] + |
||||
1-Е [cos (п, х)—г cos(п, y)]\ds = |
|
||||
уН ( l — f) |
(dy —idx) + l —l(dy + idx) |
|
|||
= y H ( l - f ) |
i (dx -f idy) -f -— - (dx —idy) |
||||
= y H ( l - f ) |
■— idz + -—- idz |
|
|||
|
|
2 |
2 |
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
i j iX n + iYn) ds = yH (l — f) ^i + E„ |
i - l : |
(4.11) |
|||
На контуре L[ |
|
|
|
|
|
i ^ (X n+ iYn)ds = yH ( l - f ) |
1 + l v |
1-E |
|
||
t o |
|
|
|
|
(4.12) |
|
2hyt —2h2t, |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
2К = i ± l уН (1 - f ) ; |
2h2= |
^ y H |
( l - f ) . |
(4.13) |
|
A |
|
|
A |
|
|
5* |
131 |
Таким образом, последнее условие (4.10) имеет вид
Ф1 (0 + *ф| (0 + Ф1 (0 = 2V —2/ггt на L[. (4.14)
Пусть функция
z = u&) = R { t + | ^ v^ V)
реализует конформное отображение таким образом, чтобы контур Lx перешел в единичную окружность, контур L / —
в окружность радиусом / ^ < 1 , |
а внешность Lx — во |
внешность единичной окружности. |
Граничные условия в |
в преобразованной области примут вид на окружности Г:
|
|
_ 1_ |
®'(о) -Фо(о) + ф0(а) |
|
|
Pd |
\ <* / |
Ро |
|
||
Xl — |
|
|
|
■фП°) + ^ i (o) |
(4.15) |
= — Ч>1 . „ |
Pi |
(О'(а) |
|||
Pi |
Vа |
|
|
||
<p»iTrJ+ - |
^ r 4>;tc’)+ ',,»(a)='p‘ (v |
|
|
|
(О |
|
|
|
a |
фНа) + Ф1(°); |
(4.16) |
|
(o'(a) |
||
|
|
|
|
|
- f Ri \ |
|
|
A |
03(v; |
|
|
a |
<B'(^la) |
|
|
=2AxM f-^ ~2h2co(R1a), |
(4.17) |
||
|
а |
|
|
где Г — единичная окружность; а = е‘е — точка |
окруж |
||
ности Г. |
|
|
|
3. Порядок расчета
Полученные граничные условия (4.15)—(4.17) отлича ются от соответствующих при расчете на внутреннее дав ление (см. главу 1) лишь правой частью уравнения (4.17), где вместо р стоит —2hx и присутствует еще член 2/i2co (Ri<y).
Если начальное напряженное состояние массива горных пород является гидростатическим (2 = 1 ), то, согласно
132