П Р И Л О Ж Е Н И Е
Напряженное состояние толстостенных труб
Общее решение задачи
Рассматривается плоская задача теории упругости о напря женном состоянии трубы некругового поперечного сечения под действием нормальной нагрузки, равномерно распределенной по обоим контурам (задача Ляме), а также под действием нагрузки, распределенной по одному из контуров сечения, когда другой кон тур жестко защемлен. Последним случаям соответствует труба, насаженная на жесткий вал (защемлен внутренний контур), или труба в жесткой обойме (защемлен внешний контур)1.
Пусть функция, отображающая поперечное сечение трубы — некруговое кольцо — на круговое кольцо, имеет вид
( 1)
причем конформное отображение производится так, чтобы защем ленный контур переходил в единичную окружность, а нагруженный контур — в окружность радиусом Rx. При действии нагрузки по обоим контурам не имеет значения, какой именно контур переходит в единичную окружность.
Граничные условия поставленной задачи в преобразованной области запишутся следующим образом:
В случае задачи Ляме в |
условиях (2), (3) принимается g = |
1; |
К = 1; h |
= — pi, f2 = — р |
2. |
0; |
Для |
трубы с защемленным контуром К = х; g == — 1; ft = |
E-i = 0; f ^ ~ ~ р2-
1 Решения этих задач могут найти применение для приближен ного расчета обделок, а также в машиностроении при расчете труб на прочность.
И сх о д я и з (2), |
им еем |
|
|
|
|
|
|
|
|
К - |
|
( 1 |
|
СО |
|
|
|
|
Cl |
|
|
|
|
со' (С)<Pi (£) + |
s |
\lJ + |
|
’М 0 - - у » |
‘ ( т |
|
g |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем |
|
полученное |
в форме (4) |
выражение для ф ^ ) |
в |
граничное условие (3); |
последнее принимает вид |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
со |
|
- / |
1 |
|
|
- i Ri |
|
К - |
|
0 “ П R 1 а |
|
|
|
|
|
|
|
<Pi |
~ |
7 |
ф 1 |
Ri'o!)+■ |
a ' ( R i <j ) |
V l ( R i0): |
|
|
|
|
|
\ о |
J |
g |
[Rio |
+ |
C * . |
|
( 5 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Функцию |
<Pi(0, голоморфную |
в области кольца Rx < р < |
1, |
отыскиваем в виде суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Pi(D |
= |
РАО + РАО, |
|
|
(6) |
где функция ^i(SK регулярная внутри окружности единичного ра диуса, может быть представлена разложением.
P i « ) = | ] c v £v, |
(7) |
v=o |
|
а функция Р2(0, регулярная вне окружности радиусом Rlt включая
бесконечно удаленную точку, представляется в окрестности боль |
ших £ рядом1: |
ОО |
|
|
|
|
|
|
М £ )= 2 * v r v- |
(8) |
|
|
v= 1 |
|
Умножаем |
далее полученное граничное условие (5) на |
ядро |
Коши 2 |
I |
do |
счи |
• р _^ и интегрируем его почленно по контуру Г, |
тая точку £ расположенной последовательно вне и внутри Г. Все интегралы типа Коши будут такого же рода, как и рассмотренные в главе 1, поэтому на их вычислении мы не будем останавливаться. После некоторых преобразований получим два функциональных уравнения:
ОО |
|
|
|
СО |
|
2 с* ( я ? - у R T k ) r |
k - ^ ( A ' ~ |
k - R Г TЧ k A ~ k ) |
k = l |
1 |
8 |
' |
Й=1 |
|
|
п+ 1R\gft |
k |
п+1 Rig'k-Sk |
+2. ад=^'Ч(в*,+Ч№0Ь |
R d —<*h |
1 При |
|
формулой (7) |
представляется |
функция, регуляр |
ная внутри круга радиусом Ru а формулой (8)—функция, регуляр ная вне единичной окружности.
|
|
|
|
|
|
|
_1_ |
|
|
(9) |
|
|
|
|
= R [f ,R i~ — hRT[ U ~ 1' |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
rc —2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ a |
u |
^ - |
j R |
l |
) ^ |
- 6 a ^ |
U a—/??Лл) C* |
|
|
k—i |
|
|
|
|
|
|
6 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ( R i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
-" 2 |
Ц |
- |
^ |
(«*>+ |
|
Pi'№ 0 = |
|
^ |
R^ ~ ah |
|
|
|
(O' (/?iE) |
|
|
|
|
|
|
|
|
—*_— f dM Й |
( 10) |
|
|
|
=Я 2 ?л (/*Я ГА- - ^ r f i R i ) t |
|
|
|
|
6= 1 |
V |
|
8 |
|
|
|
Здесь величины Ah, Л_^, Л^ |
и Л_[_А определяются формулами |
(31), (32), |
(59) |
и (60) |
главы |
1; |
— суть корни уравнения |
п + |
+ |
1-й степени (100); g k |
и g'k даются формулами (102) и (104) главы 1; |
бI, |
как и в главе 1, определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
г>я |
|
|
|
Разложим |
все |
члены |
уравнения (9) |
по отрицательным |
степе |
ням £, а уравнения (10) — по положительным степеням £ и прирав няем в каждом из этих уравнений коэффициенты при одинаковых степенях £. В результате получим систему линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных |
коэффициентов разложения |
в ряд функции <P i(£ ), |
а именно, cv |
и av, которая, |
будучи соответст |
венно укороченной, примет вид |
|
|
|
|
2 ст, vcv+ 2 am,vav |
|
(m = |
1, 2, .... r); |
v= 1 |
v= I |
|
|
|
(П ) |
2 cm,v cv + |
s |
|
|
|
2 am, v a\ |
dm |
(m |
2, |
• • •, s). |
v = 1 |
v = l |
|
|
|
|
Уравнение, полученное из (10) приравниванием коэффициентов при т = 0, отбрасываем, так как оно дает лишь зависимость по стоянной С* от cv, flVj которая при вычислении напряжений нам
не понадобится.
Выпишем коэффициенты при неизвестных, содержащихся в сис теме (11).
Коэффициенты при cv (v = 1, .... г) имеют вид
|
к •tfrm]- vK rw+1 |
п+ 1 |
|
ст, v ^т, v I |
2 rk +v~ 2 [(яг1ик- |
|
8 |
6 = 1 |
(12) |
—M^)cos(m+v—2) Фд— (Kf1 vh —и£) sin(m+ v— 2) |
где
Коэффициенты при av (v = |
1, 2, |
s) первых г уравнений вы |
числяются по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
am , v ~ v R i т [®n— m+ v+ 1ст—у —1 |
|
— т 0 |
^п — т-\- v+ ])Х |
|
4 |
hv - m + l - R T {V~ m + i ) K - m + l ) ] , |
|
( 1 3 ) |
где с*т определяются формулой (1.109). |
г) в остальных s |
|
Коэффициенты при cv (v = |
1, 2, |
..., |
уравне |
ниях записываются в форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
г' |
|
— vfi |
pV—1h" |
|
_. |
|
|
|
Lm , v |
v v+ 2/г —m —2 ■''1 |
nm -v + l |
|
|
|
_ V^OT+1 2 |
|
r1~m~ 2 [(Я71uk — Uk) COS (v—m — 2) (ph~ |
|
k= \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—(R 7XVk— a*)sin(v —m— 2)cpft]. |
|
(14) |
Наконец, коэффициенты при av |
(v = |
1, 2, |
|
s) |
последних's |
уравнений |
вычисляются из соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
a m , v = X m , v ( R T m - — R ? ) ~ |
|
|
|
|
- |
6 2 6m + |
v V R ? (^ (v+m + W h ' + |
m + 1 - h |
|
v + m |
+ l ) . |
(15) |
Свободные члены |
системы |
|
|
|
|
|
|
|
dm= A-m |
Ri |
~ |
fl -^l 1j 1 ^'m~^m—l <Jm(^fi‘R i m |
~ flR™ ^ ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
Входящие в формулы (12)—(15) величины могут быть опреде лены из соотношений, приведенных в главе 1, в частности,величины ид, vh> и 'ки v 'k — 113 (1-102), (1.104), Г(,ифь — модули и аргументы корней ад — из (1.101), величины h-t , hj и h'- — по формулам
(1.97), (1.98) и (1.99).
Полученные после решения системы (11) величины неизвестных cv и av подставляются в формулы для определения напряжений.
Для случая задачи Ляме система уравнений (11) решается дважды, и последовательно определяются неизвестные cv и av при учете
свободных членов, содержащих рг и р2■Для определения нормаль ных тангенциальных напряжений о0 от нагрузки — pt , приложенной
по внутреннему контуру1, в приведенные ниже формулы подстав ляются значения cv, av, получающиеся при свободных членах в си
стеме, содержащих рг. На внешнем контуре
Однеш = 4 |
с[а[ |
|
Pi- |
(17) |
|
c'^+d'S |
|
|
1 Считаем, что при отображении |
внутренний контур |
переходит |
в единичную окружность.
Н а в н ут р ен н ем к о н т у р е
Подстановка неизвестных, полученных из решения системы (11) со свободными членами, содержащими р2, в данные ниже формулы позволяет определить напряжения, вызываемые нагрузкой — р2, приложенной на внешнем контуре сечения трубы.
На внешнем контуре
(19)
На внутреннем контуре
|
|
|
авиутр_4 с[а[ +d[b( |
|
(20) |
|
|
|
|
ci* + dia |
|
|
|
|
|
|
|
В формулах (17)—(20) приняты обозначения: |
|
|
п |
|
|
|
|
c[ = l ~ |
] £ vq v p |
v 1cos (v + 1) 0; |
|
|
|
|
v= 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
d i= |
2 |
v?vP |
v |
1sin (v + 1) 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(21) |
a ( = |
2 |
vcvPV |
1cos (v —1) 0— 2 vavP |
V |
1 cos (v -b 1)0; |
|
r |
|
|
s |
|
|
b'x = |
2 w vpv |
1 sin (v —1 )0 + 2 vayP |
V |
1S in (v + 1) 0, |
V=1 |
|
|
V=1 |
|
|
причем в формулы (18), (20) входят величины (21), вычисленные при р = 1, а в формулы (17), (19) — величины, вычисленные при р =
=Rv
Вслучае, когда один из контуров сечения жестко защемлен,
напряжения на защемленном контуре определяются по формулам:
(22)
куда подставляются значения входящих величин при р = 1. 234
