Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Этот метод удобен в тех случаях, когда реакции связей не­ сложно выражаются через принятую систему обобщенных коорди­ нат. В частности, он удобен при исследовании свободных и вы­ нужденных колебаний многомассовых щепных систем (рис. 9).

d*yk

ции Л = — Ши dt2 , и задача динамики для каждого момента вре­ мени по форме решения сводится к задаче статики.

р,м р„.,м р„т p j t ) р „ м

Рис. 10

Необходимо отметить, что метод кинетостатики имеет две трак­ товки. Первая заключается в том, что к массам системы условно прикладываются их силы инерции, после чего методами статики рассматривается равновесие системы (рис. 10, а) в каждый мо­ мент времени. В действительности же силы инерции приложены не к массам, а к связям, на них наложенным.

Вторая трактовка заключается в условном отделении масс от связей, после чего рассматривается равновесие безмассовой систе­ мы связей под действием задаваемых сил и сил инерции (рис. 10, 6). Очевидно, что обе трактовки приводят к одинаковым результатам, но в динамике сооружений более естественной и убедительной представляется вторая трактовка. Поэтому в дальнейшем мы ею и будем пользоваться.

13

Глава 2. КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ

С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

§ 4. Свободные колебания

Для понимания динамики сооружений необходимо хорошо изу­ чить теорию колебания системы с одной степенью свободы. Этот вопрос подробно рассматривается в курсе теоретической механики,

больше массы балки, а также в случае прибли­ женных исследований ме­

тодом приведения массы (см. гл. 6). Под статическим действием груза балка прогнется, и он займет положение, характеризуемое ординатой уо. Выведем каким-либо образом груз из состояния равновесия и предоставим его самому себе. Тогда груз начнет совершать свободные колебания. Для исследования колебаний применим первый метод составления дифференциального уравне­ ния движения груза:

действует на массу, стремясь вернуть ее в первоначаль­ ное положение;

15

R — диссипативная сила, т. е. сила, совершающая необрати­ мую работу, связанную с рассеянием (диссипацией) механической энергии;

у— перемещение груза при колебаниях, отсчитываемое от положения статического равновесия.

Рассмотрим более подробно, как определяются восстанавли­ вающая и диссипативная силы.

Восстанавливающая сила, как уже отмечалось выше, стремится вернуть систему в первоначальное положение и находится в опре­ деленной зависимости от параметра, характеризующего отклоне­ ние массы. Основным видом восстанавливающей силы является упругая сила. В этой главе рассматриваются восстанавливающие силы как силы упругие, прямо пропорциональные отклонению:

Диссипативные силы являются силами сопротивления движе­ нию системы. К ним относятся:

а) силы внутреннего трения в материале, из которого изготов­ лена конструкция;

б) силы трения в местах соединения элементов конструкций и в опорах;

в) силы сопротивления среды, в которой происходит колеба­ ние (воздух, жидкрсть и т. д.).

Поскольку диссипативные силы связаны с тем или иным сопро­ тивлением, то их направление всегда противоположно направле­ нию движения. Энергия системы расходуется на преодоление сил сопротивления в необратимой форме, поэтому происходит рассея­ ние энергии и затухание колебаний.

Существуют различные гипотезы, учитывающие диссипативные силы в зависимости от их природы. Наиболее часто используются

*) Мог^т быть восстанавливающие силы, которые меняют свою величину

в зависимости от у и по более сложному закону. Один из таких случаев будет рассмотрен в гл. 11.

16

В динамике сооружений широкое распространение получила последняя гипотеза, поэтому в дальнейшем и будем пользоваться ею *).

Подставим в дифференциальное уравнение (а) значения вос­ станавливающей силы (б) и диссипативной силы (в):

_ d*2y ^ Ddy т '- ц р ~ = ° - г^ - г у - Ы -

Заметим, что статически приложенный груз G уравновешивает­ ся соответствующей восстанавливающей силой гу0, т. е. G= ry0. Поэтому два первых слагаемых в правой части уравнения взаимно уничтожаются. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, разделим их на гп\ и введем обозначения

т-і

и

( 2. 2)

В результате получим дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы с учетом влияния диссипативных сил:

Как видим, дифференциальное уравнение составлено относи­ тельно у и не зависит от у0. Следовательно, колебание груза на балке совершается около положения статического равновесия. Поэтому при составлении дифференциального уравнения свобод­ ных колебаний обычно не учитывают статическое действие веса системы и равное ему значение росстанавливающей силы. Более того, считая прогибы системы от веса груза малыми, у отсчиты­ вают от недеформированного положения (рис. 11,6). В дальней­ шем при рассмотрении колебаний различных систем мы так и бу­ дем поступать, т. е. собственный вес и соответствующую ему часть восстанавливающей силы во внимание принимать не будем, а пе­ ремещения при колебаниях будем отсчитывать от недеформиро­ ванного положения. После определения усилий и деформаций от динамической нагрузки действие статических нагрузок учитывается методом наложения.

В зависимости от величины п в уравнении (2.3) различают сле­ дующих четыре случая: 1) п = 0; 2) п<со; 3) п>ы; 4) /г= ш.

Рассмотрим порознь каждый из этих случаев.

*) Следует отметить, что применение гипотезы вязкого сопротивления к ис­ следованию колебаний конструкций в настоящее время подвергается критике. Однако простота и получаемые на ее основе качественно правильные резуль­ таты способствуют широкому использованию этой гипотезы.

( ' -ѵ

1-й случай: п - 0, т. е. силы неупругого сопротивления (дис­ сипативные силы) не учитываются. Тогда уравнение (2.3) превра­ щается в дифференциальное уравнение свободных незатухающих

колебаний:

Постоянные А и ß или D и f находятся из начальных условий. Как отмечалось выше, коэффициент жесткости г в формуле для частоты может быть определен как сила, вызывающая единич­ ное перемещение точки приложения массы^Шь Единичная си­

ла G= 1 вызовет восстанавливающую силу F= 1. Тогда по фор­ муле (б) перемещение точки приложения единичной силы будет равно 1/г. Но перемещение точки приложения единичной силы,по ее направлению, и ею же вызванное, в строительной механике обо­ значается бц. Следовательно, 1/г = 6ц или г= \/Ьи . Поэтому для определения частоты колебаний может быть рекомендована также следующая формула:

1

(2.8)

V лі&і

Часто используется еще одна разновидность формулы для определения частоты колебаний системы с одной степенью сво­ боды. Так как m\ = Gjg, то из (2.8) следует

Если учесть, что 08п = 8СТ— статический прогиб, то получим

18