Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Период колебаний, если известна частота, найдется по формуле

j _ 2л

(і)

Частота, определяемая формулами (2.7), (2.8) и (2.9), назы­ вается круговой частотой. Круговая частота определяет количество колебаний, совершаемых в 2я секунд. От круговой частоты необ­ ходимо отличать частоту в герцах:

Частота в герцах определяет число колебаний в одну секунду.

чины расположенного на ней груза. Поэтому частоту свободных колебаний балки будем определять по формуле (2.9), считая балку невесомой с массой посере­ дине, т. е. рассматривая балку как систему с одной степенью свободы. Из курса

Р І3

йст - ~шт ■

.Вычислим жесткость сечения балки:

E l = 2 ,Ы 0 к-2-13380 = 4,2-1338-ІО7 кгс-слР = 5620 тпс-лР.

Тогда

ост = 4§1.'У^0' = 9,61' 10_3 М= 9,61 ММ‘

По формуле (2.9) получаем

показано ниже, колебания будут иметь затухающий характер. Дифференциальное уравнение сохраняется в виде (2.3). Корни характеристического уравнения будут иметь следующее значение:

Решение дифференциального уравнения (2.3) будет иметь вид

Постоянные А, В или D, у определяются из начальных усло­ вий.

Колебания имеют затухающий характер (рис. 12) с периодом

т_ 2тс

” 4- ’

где = У (о2 — п2 — частота затухающих колебаний.

Величина п характеризует интенсивность затухания колебаний и называется коэффициентом затухания. Если имеется экспери­ ментальная запись колебаний (осциллограмма), то коэффициент затухания п может быть определен по отношению соседних (одно­ го знака) амплитуд свободных затухающих колебаний yk и уь+і- В связи с этим рассмотрим отношение соседних амплитуд, т. е. ам­ плитуд, разделенных друг от друга промежутком времени, равным периоду колебаний:

20

Натуральный логарифм отношения соседних амплитуд назы­ вается логарифмическим декрементом колебания. Обозначим его е:

(2Л З )

Определив по опытной осциллограмме е й Т, можно найти коэффициент затухания:

При расчете конструкций коэффициент затухания часто пред­ ставляют в виде

где пот— относительный коэффициент затухания.

Тогда в соответствии с формулами (2.10) и (2.13) частота за­ тухающих колебаний и логарифмический декремент колебаний будут равны:

J

Ориентировочные значения относительного коэффициента зату­ хания для стальных, деревянных и железобетонных конструкций следующие:

—для стальных яот =0,005-^0,0125;

—для деревянных п0т = 0,015 н-0,025;

—для железобетонных яот =0,025-^-0,05.

Если подставить пог в формулу (е), то можно сделать вывод, что количественное различие между ф и ш для указанных кон­ струкций весьма мало. Поэтому в практических расчетах конструк­ ций, как правило, не делают различия между ф и ю, т. е. прини­ мают ф~ш. Тогда

Пример 2. Определить отношение между соседними амплитудами затухаю­ щих колебаний, если балка изготовлена: а) из стали; б) из железобетона.

Принимаем для стали пот =0,0125, для железобетона пот =0,05. Логарифмический декремент колебания может быть определен по фор­

муле (з).

Зная логарифмический декремент колебаний, найдем отношение между сосед­ ними амплитудами:

21

Заметим, что для рассматриваемой модели системы с одной степенью свободы (колебание груза на невесомой балке в воздухе) в инженерной практике реальное значение имеют два первых слу­ чая. Если же балку с грузом поместить в вязкую среду (напри­ мер, в густое масло), то будет реализовываться третий или четвер­ тый случай. В защитном строительстве военному инженеру при­ ходится иметь дело с конструкциями, заглубленными в грунт, ко­ торый можно рассматривать как вязкую среду. Движение нахо­ дящихся в грунте элементов защитных сооружений (покрытий, стен) может происходить в соответствии с третьим или четвер­ тым случаем.

§ 5. Вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки

Рассмотрим вынужденные колебания массы, расположенной на невесомой балке, которые происходят под действием силы P(t), меняющейся во времени. На массу будут действовать следую­ щие силы (рис. 14): возмущающая сила P(t)\ восстанавливающая

сила F- ■гу\ сила неупругого сопротивления R = 8 ^ .

Как условились ранее, собственный вес груза и равное ему значение восстанавливающей силы не принимаем во внимание.

Составляем дифференци­ альное уравнение движения массы:

или

Рис. 14

Поделим на т\ все слагаемые и, введя обозначения (2.1) и (2.2), будем иметь

где Q — амплитудное значение возмущающей силы;

р— частота изменения возмущающей силы;

б— начальная фаза.

Квертикальной возмущающей силе вида (2.20) сводится дей­ ствие на балку установленного на ней работающего мотора. Вслед­

23

ствие неуравновешенности ротора, масса которого имеет относи­ тельно оси вращения эксцентриситет е, во время его вращения бу­ дет возникать центробежная сила инерции, определяемая выра­ жением

F" = /Яротер*,

где трог — масса ротора; р — угловая скорость.

Если начало вращения ротора отсчитывать от линии, положе­ ние которой определяется угловой координатой б (рис. 15), то вер­ тикальная составляющая центробежной силы, которая и является возмущающей силой, будет

P(t) = F^sinipt + 8).

Отсюда следует, что частота возмущающей силы в формуле (2.20) равна угловой скорости вращения ротора, а ампли­

Частное решение этого уравнения примем в следующем виде:

где D и if — постоянные, подлежащие определению.

Для этого представим тригонометрическую функцию в правой части (2.22) в виде

sin (pt + 8) = sin (pt + 8 + ^ — -() =

= cosy sin (pt + 8 + f) — sin T cos {pt -f 7 + 8).

24