Файл: Олянюк, П. В. Оптимальный прием сигналов и оценка потенциальной точности космических измерительных комплексов.pdf

О

— (e-j-cosft)

—(e

+ cos&)cosj

w 2 =

0

—

sin 9

—

sin 0- cos i

X

cos

(ш -J- fr) - j -

e cosu)

0

sin(u)-r-&)-|-esinoj

Г

x V ^ r ^ 5 ) '

( V L 2 ' 3 8 )

ными составляющими

вектора

g b угловым расстоянием пе­

ригея и наклонением

орбиты.

Х а р а к т е р н ы м д л я

матрицы

непосредственного преобразо ­

сят от долготы восходящего узла

и определяются

внутриор-

битальными элементами а, е, М0

и

двумя

угловыми пара ­

метрами

! И (О.

В ы р а ж е н и е (VI.2.35)

показывает,

что

р а с с м а т р и в а е м а я

матрица

п е р е х о д а R, представляя

собой линейный

оператор

преобразования, определяется произведением

Р =

GHSWK ,

(VI.2.39)

честве

исходной

системы

параметров

используются

кеп-

леровы

элементы

орбиты.

Если в качестве

исходной

систе­

мы параметров

выступают

начальные

условия

движения

прямоугольной

системы

отсчета

OXYZ,

то

преобразование

дифференциалов

определяются

в ы р а ж е н и е м

dq = W~]STHTGrdg,

(VI.2.40)

которое

справедливо во

всей

области з а д а н и я

параметров,

за исключением особых точек, в которых

матрица W K

ста­

новится

особенной.

Рассмотренные

преобразования

показывают,

что

связь

оператором

преобразования

дифференциалов

при

переходе

из одной системы отсчета в

другую . В дальнейшем

матрицу

•преобразования дифференциалов,

характеризующую

транс­

формацию ошибок при

переходе,

в отличие

от

матрицы пре­

о б р а з о в а н и я

координат,

назовем

матрицей

перехода.

Матри -

цы перехода, связывающие дифференциалы

параметров дви­

ж е н и я

различных систем отсчета

с неодинаковыми размерно ­

стями

физических координат,

наряду

с ортогональными

выми (вообще говоря, необязательно прямоугольными)

и, во-

вторых,

составляющие

вектора состояния характеризуют

только

положение КА

или наблюдателя в выбранных

систе­

реходе из одного .пространства

п а р а м е т р о в

в другое и отра ­

ж а я существенные особенности

этих пространств,

матрицы

перехода играют исключительную роль в

з а д а ч а х

определе­

ния параметров движения .

П р и

оценке

точности и определении вектора

состояния

по полю

принимаемого

сигнала

с регулярно

изменяющимися

п а р а м е т р а м и

к

существенным

операциям

пространственно-

временной

фильтрации

относятся

операции

нахождения

первой

и второй

производных

А К Ф

сигнала по

составляю ­

знания

и

решения

уравнений (III . 1 . 7),

(III . 1 . 8) .

Корреляци ­

онная

матрица

Ее

определения

поправок

к уточняемым

па­

р а м е т р а м

g

в случае

отсутствия

матрицы

B g a ошибок апри­

орных данных совпадает с корреляционной матрицей

В В и

собственно измерений и с точностью до постоянных

множи­

телей

численно

равна обратной

матрице

вторых

производ­

ных

А К Ф

сигнала.

Так, д л я сигнала

с регулярно - изменяю ­

щейся

амплитудой

и

флюктуирующей

начальной

фазой

век­

тор

поправок

A g

и

корреляционная

матрица

B g

опреде­

л я ю т с я

соотношениями

J - B

S K ( g a )

- т э

« * ( ё а )

(VI.3.1)

A

g =

g

0

ft=l

M i

N

- i

z;ft

( g j - 4

-

a;A (gf l )

(VI.3.2)

U - l

в которых интегрирование сигнала при определении

произ­

водных

ведется в

пределах

к а ж д о г о

из

интервалов

когерент­

н о с т и , а суммирование

—

по всем

интервалам N.

Произвол -

"ные взяты по составляющим векторам

g в

точке

их

апри­

орного значения.

В дальнейшем

нам

понадобится

матрица

W g ,

определяе­

м а я в ы р а ж е н и е м

N

2

(VI.3.3)

а т а к ж е

матрица,

о б р а т н а я корреляционной

B g .

Обозначим

ее через

И е .

на

основе

пространственно-временной

Если

сначала

ности и определяются поправки

4g

к исходным п а р а м е т р а м

g ( н а ч а л ь н ы м

условиям

д в и ж е н и я

в прямоугольной

системе

отсчета)

путем

решения

уравнений

(VI.3.1) и (VI.3.2), а

за­

тем ставится задача получения оценок

конечных

парамет ­

ров q, то вектор поправок

Aq

может

быть вычислен

на

основе

ранее приведенных

формул

преобразования:

д ч

=

р - 1

Ag,

(VI.3.4)

г д е Р = dg/dq

— матрица

перехода,

с в я з ы в а ю щ а я

диффе ­

ционной

матрицы В в [15, 19]:

Bq =

P - , B B . ( P - 1 ) T .

(V1.3.5)

П р и

непосредственном

уточнении конечных параметров q

по полю

принимаемого сигнала вектор поправок Aq

и корре­

л я ц и о н н а я м а т р и ц а определяются в ы р а ж е н и я м и

(VI.3.6)

2

Z

4 A

(4a)

Э;А

(qe )

(VI.3.7)

Учитывая,

что

обе

системы

параметров

g

и

q

с л у ж а т

для характеристики

пространственно-временного

состояния

движущегося

по

одному

и

тому

ж е

закону

материально ­

го объекта,

к а ж д о е

из

слагаемых

сумм

первых

и

вторых

производных

по

составляющим

вектора

q

можно

предста­

вить

соотношениями

- z ; ( 4 e ) - - | - 3 ; ( q e )

= P M z ; ( g e ) - - i - 9 ; ( g e

) ] ,

(Vi.3.s>

К (*а)

<Ч«) =

F

К

(Sa)

-

\

-

Э ; (g«)] Р-

(VI.3.9)

Значение

элементов

матрицы

перехода

Р

не

зависит

от

интервала

когерентности.

С л а г а е м ы е

квадратных

скобок,

представляя

собой

производные

по

элементам

вектора

g r

являются функциями его составляющих, заданных

своими

априорными

значениями .

П р и

подстановке

выражени й

(VI.3.8), (VI.3.9) в формулы (VI.3.6)

и

(VI.3.7)

последние

могут

быть

приведены

к соотношениям

(VI.3.4)

и

(VI.3.5)

соответственно.

Поэтому

можно

заключить,

что

независимо

от того, непосредственно ли оцениваются конечные

парамет ­

ры движения

q или они получаются путем сведения

резуль­

татов

оценивания исходных

параметров

g

с

использованием

матрицы перехода

Р ,

поправки

к

уточняемым

парамет ­

рам и их корреляционные .матрицы

B q

всегда одинаковы.

Корреляционная

матрица

вектора

ошибок

может быть

ной характеристики

[19], к а к

определитель

корреляционной

матрицы,

значение которого с точностью до

постоянных

мно ­

жителей определяет объем многомерного эллипсоида

ошибок

оценки выбранного состава параметров . Тогда связь

м е ж д у

объемом

эллипсоида

ошибок

и определителем может быть

представлена следующей зависимостью

[15]:

l / 3 = 7 r ^ ] / o ^ e T B 7 / / r ^ y +

l j ,

(VI.3.10)

где т —

размерность

эллипсоида, определяемая

р а з м е р ­

ностью

многомерного

пространства

параметров

g;

Г (m/2 + 1 )

— гамма - функция .

ных параметров,

то

дл я количественной оценки точностных

•свойств и особенностей определения различных систем

пара­

метров движения достаточно знать определитель

корреля­

ционной матрицы

В г

ошибок

определения составляющих ис­

ходной

системы параметров

g и определитель

матрицы

пере­

хода Р, так как знание последних дает возможность

вычис­

лить

определитель

корреляционной матрицы

B q

ошибок

оценки

конечных

параметров

q- При одинаковой

размер ­

ности

многомерных

пространств

параметров g

и q

справед­

л и в о -соотношение

d e t B q = detB g /(detP) 2 .

(VI-3.11)

Таким образом, в m-мерных пространствах с одинаковой

метрикой в области

з а д а н и я

параметров, где значение

опре­

определитель матрицы

U g

мал, точность

определения

невы­

сока . 'Поэтому, устанавливая

расположение

областей, в преде­

л а х которых

det U g — 0,

можно

судить о

расположении ра ­

бочих

областей измерительного

комплекса

при использова­

нии выбранной совокупности параметров .

К

этому

следует добавить, что, так как в

настоящее

вре­

ределителя

скорость сходимости

становится

-меньше,

и при

этом дл я

сходящегося решения

требуются

более

точные

бенно затруднительным становится решение в

области зада ­

ния

параметров, при которых det U g —0. Величина

определи­

теля матрицы

U g

зависит

от распределения

элементарных

приемных

антенн

в пространстве,

статистических

характе ­

ристик ошибок

измерений,

геометрических условий

н а б л ю ­

дения космического аппарата и от выбора системы

исходных

параметров,

используемой

дл я характеристики

пространст­

венно-временного

его состояния. П р и определении

конечных

параметров q

характер

изменения

определителя

матрицы

Uq

вторых

производных

АК Ф сигнала в зависимости

от зна-