Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

ратор в том же гильбертовом пространстве, в котором определены векторы состояния. Возможные значения переменной исчерпываются собственными значениями ее оператора. Состояние, в котором переменная фикси­ рована, описывается соответствующим нормированным собственным вектором ее оператора.

Очень 'часто при изложении квантовой механики век­ торы состояния вводят как функции я|)(г) координат системы (так называемые волновые функции). При этом скалярное произведение функций -фі и г|)2, задание кото­ рого требуется определением гильбертова пространства, вводят как интеграл по объему

Jr.(r)<M0dV.

От волновой функции я|)(г) легко перейти к другим представлениям вектора состояния. Разложив функцию ф(г) в ряд Фурье по полному ортоиормированиому на­ бору функции {q>j(r)}, можно считать коэффициенты раз­ ложения проекциями вектора -ф на орты 'бесконечномер­ ного эвклидова (Пространства. Множеспво таких «систем координат» для задания г|) может 'быть весьма (разнооб­ разным.

значения параметров системы, фиксируемые в данном состоянии. Это обозначение, не связанное с видом про­ странства, в котором рассматривают вектор, предпола­ гает, что всякому рассматриваемому вектору состояния может быть поставлена в соответствие динамическая переменная, имеющая в этом состоянии фиксированное значение. Однако в конкретных задачах это ограничение

Оператор переменной А будем обозначать как Â~.

7

рассматривать в эвклидовом пространстве, то в нем любому линейному 'оператору соответствует матрица коэффициентов некоторого линейного преобразования. Наличие соответствия оператор — матрица очень полез­ но иметь в виду при рассмотрении общих свойств опе­ раторов, поскольку для матриц эти свойства обычно бо­ лее очевидны и легко доказываются.

т. е. сопряженный оператор (сопряженная матрица) дей­

Легко доказать, что собственные значения самосо­ пряженного оператора вещественны, а собственные век­ торы, соответствующие различным собственным значе­ ниям, ортогональны.

Действительно, записав уравнение для /-го собственного вектора *>

умножив его слева на {Ah\ и вычтя из полученного равенства равен­ ство, отличающееся перестановкой индексов / н k и переходом к комплексно сопряженным величинам, с учетом (1.1.1) получим

откуда следует, что

при АіфАк.

Остановимся подробнее на 2-м из перечисленных до­ пущений, содержащем вероятностное толкование векто­ ров состояния. Пусть речь идет об измерении парамет-

*) Напомним, что это уравнение служит определением понятий и собственного вектора \Aj), и собственного значения Aj для опера­ тора Я.

8

Система собственных функций самосопряженного оператора ѵ в полном гильбертовом пространстве [2, 3] является полной, поэтому любой вектор \f) можно представить в виде

где суммирование осуществляется по всем собственным функциям, причем функции, соответствующие кратным собственным значениям, считаются выбранными ортого­ нальными друг другу. Условие полноты системы можно

собой сумму вероятностей всевозможных исходов при

мерного пространства. Переход к представлению векто­ ра в виде ряда, полученного лри разложении по .собст­ венным функциям некоего оператора ѵ, можно рассмат­ ривать как переход к новой системе координат. О воз­

10