Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 81

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Определяя, обратный оператор S~'(M') равенством

 

S-l{t,t')S(t,t')=l,

 

 

 

 

 

дифференцируя это^равенство^по t и подставляя

в

него

d§jdt из (1.1.18),

легко

показать,

что

уравнение

для

'S~1(t,t')

совпадает

с (1.1.19).

Поскольку

совпадают и

начальные условия

[S^tf',

t') = S+{t!,

 

Г ) — 1 ]

отсюда

следует, что

 

 

 

 

 

•

 

З " 1

=

(*,*')•

 

(1-1-.20)

Операторы, зависящие от времени, определяем сле­

дующей цепочкой

равенств:

 

 

 

 

 

{A (t)) =

(f, t \Â\ f, t) P = (f, t0

(t, g A S " ( t , g

I f , g ,

(1.1.21)

согласно которой

 

 

 

 

 

 

 

A (t) = 3 + {t, t0)2s (t, g =§-1

(t, g

ÂS(t,t0).

( l . i .22)

Согласно (1.1.21), (1.1.22) «переменные» и «постоянные» операторы эквивалентны только при нахождении сред­ него значения соответствующей переменной. Однако это­ го вполне достаточно для решения задач, связанных с нахождением распределений вероятностей для резуль­ татов экспериментов, если ввести оператор характери­ стической функции соответствующих переменных. Умно­ жая обе части равенства (1.1.22) на і%, дифференцируя его по г и учитывая (1.1.18), (1.1.19), получаем

= — S~lH A S + S - M H 3 = - s-lH s 3 - l  s +

+ 3 - 1 Я З З - 1

# 3 = - H(t)A {t) + A(t)H{t)

=[A

(t) ,H(t)\.

 

 

 

 

 

(1.1.23)

Если A содержит явную зависимость

от

времени, то

ъ правую часть

(1.1.23)

добавится

член

S~1(dA/dt)mS

(•индексом ш отмечена .производная

оператора .в шредин-

геровском представлении,

т. е. производная

по времени,

входящему в явном виде).

 

 

 

2-220

 

 

 

 

^-^,-.-г^^ггт^-

НАУЧ-НО-ТЕХНИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКАСССР_

В дальнейшем будем использовать представление Гейзенберга и опускать временной аргумент у векторов состояния.

Из приведенных результатов видна особая роль опе­ ратора энергии системы для изменения ее свойств со временем. Если энергия в системе сохраняется и

(dH/dt)m = 0, то в состояниях, описываемых собственны­ ми векторами оператора Н, средние значения любых динамических переменных постоянны. Действительно, в этом случае из (1.1.18), (1.1.19) следует (^о = 0):

 

 

S(t)=e

--т-îit

 

-r-ïït

 

 

П

, 5-1 (^) = е а

,

так

что в

состоянии

| Н)

 

 

 

(H\2(t)\H)

=

(H\&h

Л(0)е

\Н) =

=

{H\z

 

Л(0)е

11

|tf ) = (//|3(0)|tf)=consl .

Из-за доказанного свойства состояния \Н) называют стационарными.

Перейдем к последнему из рассматриваемых здесь общих понятий квантовой теории — понятию оператора (или матрицы) плотности. Оператор плотности описыва­ ет так называемые смешанные состояния системы, когда состояние системы неизвестно, а задана только вероят­ ность нахождения системы в любом из заданного набо­

ра чистых

состояний. 'Пусть это—состояния с заданным

значением

переменной

(или набора

переменных) ѵ и

р(и) —плотность вероятности для. ѵ.

Среднее значение

переменной А определяем, очевидно,

выражением

 

(А)=^

p{v)(v\A\v)dv.

(1.1.24)

Допустим теперь, что вычисление (и|Л|и) связано с какими-то затруднениями и удобнее воспользоваться разложением \ ѵ) по собственным функциям самосопря­ женного оператора и:

\v)=Z(uj\v)\uj).

і

18

Подставляя это разложение в (1.1.24), получаем

<Л)=Х (uj \2 I ик ) jp

( У )

( У I ut) <«fc I

=

/.ft

 

 

 

= S^ j h P h j .

 

(1.1.25)

/ . f t

 

 

 

Теперь (А) выражено в виде

следа (суммы

диагональ­

ных элементов) произведения матрицы, соответствующей оператору Л (элементы этой матрицы

А& = («j \Â\uk)

называют матричными элементами оператора Л в «-пред­ ставлении), на так называемую матрицу плотности в «-представлении

Pjft = JP (о) {Щ \v)(v\ uk)dv.

(1.1.26)

Так же, как каждому оператору в конкретном пред­ ставлении соответствует определенная матрица, каждой матрице можно поставить в соответствие оператор. Мат­ рице плотности соответствует оператор плотности, обра­ зуемый по тому же принципу, что и оператор проекции:

9 = JP И И <о I do = 2 P j f t I и3) <«h|.

(1.1.27)

/. ft

 

С использованием оператора плотности р формулу (1.1.25) для среднего значения динамической перемен­ ной А запишем символически как след произведения операторов:

(А) = Тт{Ар}.

(1.1.28)

Важны следующие свойства матрицы плотности:

—она является положительно определенной;

—будучи приведенной к диагональному виду, имеет на диагонали положительные элементы;

—ее Диагональные элементы есть вероятности соот­ ветствующих значений переменной, в представлении которой матрицу рассматривают.

2*

19

Действительно,

 

 

Pl = Tr{%t

p} =£

 

р}к(и5

\щ I uk)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

I.k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— S pjh

(UJ I щ ) (щ I uh)

=

ргг,

 

 

 

где

щ =

I иг) (щ | — оператор

проекции.

Сумма

[диагональ­

ных элементов

р и равна,

как

и должно

быть,

единице.

В представлении с непрерывными собственными зна­

чениями *)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ѵ) = j < ы \ ѵ ) \ и } du

 

 

 

оператор плотности будет записан в виде

 

 

 

 

 

р =

j j p ( и ' ,

и")

\и'у

 

<u"\du'du",

 

(1.1.29)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р (и', u")'=Jp (о)

 

 

I о) (и 1 ""> Л ,

(1.1.30

Плотность вероятностей

р(и)

 

находим

как

среднее

зна­

чение оператора проекции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ъ(и)

— \и>

<ы|,

 

 

 

 

и она равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р (u) =

f jp («', и") S (и' — и) 5 (и" — и) du'du"

= р(и, и),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.1.31)

т. е.

совпадает

с диагональным значением

«матрицы»

плотности р(и>',

и").

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя

предположение

о полноте функции

| у>,

можно линейным преобразованием

 

 

 

 

 

 

 

 

I ы> =

j

<Ü I

и> I о> du,

 

 

 

 

вернуться

к ^-представлению:

 

 

 

 

 

 

 

р (ѵ', ѵ")=

j jp (и', и")

< Ü ' |

и'}

<ы" I v">

du'du".

 

*> Жирной пол'ушобкой, как и іраиее,

обозначены ô-інормироваи-

ные

векторы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

Смотрите также файлы