Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

Отсюда сразу следует, что математическое ожидание аналитической функции F(v) можно найти по формуле

В частности, формулу (1.1.10) можно использовать для нахождения характеристической функции (е"1*7), которую

в очень многих случаях проще вычислить, чем опреде­ лять собственные векторы рассматриваемой переменной и уже через них распределение вероятностей.

Распространим приведенные результаты на случай непрерывного множества собственных значений операто­ ра v. Естественно, что в этом случае суммы во всех фор­ мулах будут заменены интегралами по ѵ. Обычно при таком переходе изменяют нормировку собственных век­ торов *):

<о 1 о'> = 8 (ѵ — ѵ')

(такую нормировку будем выделять знаком |> ). Благодаря этому удается непосредственно восполь­

зоваться хорошо разработанным аппаратом интеграль­ ных 'преобразований. Представление произвольного век­ тора I f) через |у> имеет вид

Подынтегральное выражение в (1.1.11) можно рассматри­ вать как результат действия на | /) плотности оператора проекции

ъ(ѵ) = \ѵ> <о|,

среднее значение которого представляет собой плотность вероятности

Затруднение, связанное с вероятностной интерпрета­ цией результатов при \f) = \v'), когда из (1.1.12) фор­ мально получаем

*> В дальнейшем функция, нормированные подобным образом, будем называть о-нормироваиными.

11

просто преодолеть, «ведя «двойную» мормировку: обыч­ ную для рассматриваемых векторов состояния (в дан­ ном случае | и' ) ) и б-нормировку для собственных век­ торов, используемых для построения разложений (1.1.11).

При «двойной» нормировке указанного несоответст­ вия не возникнет, если считать, что

В интегралы, встречающиеся при преобразованиях векторов, входит в этом случае обобщенная функция

]/8 (и — У , ) 8 (о — ѵ„) , которую естественно определить следующим равенством:

«Двойную» нормировку будем использовать в дальней­ шем.

В качестве примера рассмотрим собственные векторы оператора координаты х. В координатном представлении х = х;

В этом представлении

If) = J Ф* (*') « (* - *') d*' = Ь (X) = <*|/>

— волновая функция*), a |і|>/(ѵ) | 2 — плотность вероятности для ре-

*) Последнее равенство — результат совпадения |х') в координат­ ном представлении с <х|х'^ .

12

Обращаясь к физическому смыслу основных допуще­ ний квантовой теории, отметим следующее. Основной смысл этих допущений можно усматривать в том, что в квантовой теории суммирование вероятностей, соот­ ветствующих несовместимым элементарным событиям, составляющим данное сложное событие, заменяется взвешенным суммированием соответствующих этим со­ бытиям векторов состояния. Здесь весовые коэффициен­ ты при суммируемых векторах состояния играют роль комплексных «амплитуд вероятностей», подобную роли комплексных амплитуд гармонических составляющих сигнала (аналогия будет полной, если эти амплитуды назвать «амплитудами мощности»).

Справедливость аналогии суммирования .векторов состояния со сложением вероятностей становится наи­ более очевидной в случаях, когда события, ' векторы со­ стояния которых складываются, равновероятны. Очень наглядным в этом смысле является классический пример интерференции электронов, проходящих через две щели в непрозрачном экране, расположенные симметрично относительно источника электронов.

Пусть требуется найти волновую функцию электрона за экраном, являющуюся амплитудой вероятности (для краткости не будем повторять, что амплитуда комплекс­ на) для значений координаты электрона. Введем опера­

оператора, как ясно из физических соображений, будут волновые функции электрона за экраном при открыва­

события, приводящих к попаданию электрона за экран: прохождение через щель № 1 или щель № 2. Для полу­ чения амплитуды вероятности координаты (волновой

13

функции), соответствующей суммарному событию, скла­ дывают амплитуды вероятностей, соответствующих эле­ ментарным событиям.

Как показал Р. П. Фейнман [4], приняв определенный способ вычисления векторов состояний, соответствую­ щих равновероятным элементарным событиям, можно построить квантовую теорию, не вводя априори допуще­ ния об операторах динамических переменных. Однако при таком построении теории путь получения многих важных результатов более длинный.

Идеализированный измерительный прибор, о котором упоминалось во 2-м из перечисленных в начале пара­ графа допущений, можно представить в виде набора селекторов, каждый из которых настроен .на определен­ ное значение измеряемого параметра. Система, взаимо­ действующая с прибором, обнаруживается в одном из селекторов и, естественно, оказывается в том состоянии, на которое настроен селектор. Можно провести некото­ рую формальную аналогию между таким прибором и многоканальным корреляционным приемником, рассчи­ танным на прием множества взаимоортогональных сиг­ налов. Роль входного сигнала играет вектор состояния исследуемой системы, а роль весовых функций канала приемника — векторы состояний с фиксированными зна­ чениями измеряемого параметра.

Большое значение в квантовой теории имеют сово­ купности переменных, которые могут иметь определен­ ные значения в одном и том же состоянии. Таковыми являются переменные, операторы которых коммутируют, т. е. попарно удовлетворяют соотношению

показывающие, что Ê\A) — собственный вектор оператора "А, соот­ ветствующий собственному значению А. Если этому собственному

значению соответствует только один собственный вектор, то В \ А) может отличаться от \А) только постоянным множителем, т. е.

Ѣ\А) = В\А)

14

и, следовательно, \А) является собственным вектором В. Если кратность собственного значения больше единицы, то в этом случае

может быть линейной комбинацией собственных векторов, соответствующих А. Очевидно, можно составить такую линейную

комбинацию, которую оператор В преобразует саму в себя с точ­ ностью до постоянного множителя, т. е. она является собственным вектором этого оператора.

Общие собственные векторы коммутирующих само­ сопряженных операторов образуют полную систему век­ торов [1].

Для некоммутирующих операторов Л и В произведе­ ние дисперсий результатов измерения каждой из этих динамических переменных (подчеркнем, что динамиче­ ские переменные с некоммутирующимя операторами не могут быть зафиксированы одновременно) ограничено снизу [5]:

Чтобы применять сформулированные постулаты кван­ товой теории, определяющие правила вычисления веро­ ятностей результатов экспериментов, к конкретным фи­ зическим системам, необходимо, во-первых, научиться строить операторы, соответствующие тем или иным ди­ намическим переменным, и, во-вторых, ввести квантовые уравнения движения, определяющие изменение состоя­

тами эксперимента. Основные результаты этого рассмот­ рения сформулируем в виде следующих дополнительных

15

оператором Гамильтона или, короче, гамильтонианом. Подчеркнем, что, изменяясь согласно (1.1.16), состоя­ ние, соответствующее в начальный момент ta фиксиро­ ванному значению переменной или совокупности перемен­ ных (J f, t0) ==,\f> ), не будет оставаться таковым при изменении времени. Из-за этого временно создается не­ которая нечеткость в обозначениях, которую устраним перенеся временную зависимость с векторов состояния на операторы динамических переменных. Способ описа­ ния системы, при котором зависимость от времени пол­ ностью перенесена с векторов состояния на операторы, называют представлением Гейзенберга (а описание, при котором векторы состояния подчиняются уравнению

16