Файл: Загальская, Ю. Г. Геометрическая кристаллография учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 0
Абсолютные значения |
векторов A', B', С' (А' — рА, В' = рВ, |
С' = рС) найдем скалярным умножением каждого вектора на самого себя с последующим извлечением корня:
А'-А' = (А')2 = р (иА~а + vAb + wA~c)-р {иАа + vAb + wAc)
или
А' = р2 (иАа2 + ѵА b2 + |
аУл с2 + |
^л cos у + |
2ас«л оу4 cos ß + |
26сул wA cos а) ’, |
|
где а, ß, у — осевые углы в старой системе координат. Вычислив таким же образом В' и С', получим
Л: В: С = А ':В ':С ' = — : 1 : — .
ß ' В'
Для вычисления новых осевых углов
|
(а' = В С, |
ß' = Л С, у' = А В) |
|
|
|
следует |
воспользоваться следующей зависимостью: |
|
|
||
|
_ |
-> |
1 |
~ |
-> |
cos у' = |
—» |
/V J3* |
|||
cos (Л В) = |
-^TgT- = |
-jrgT- (UA a + vAb + |
wAc) (uB a + vBb + |
||
-\-wBc)= - - --- (uAuß а2 + |
-f- WAWBc2 + uAvBa b + uAwBа c + |
||||
|
А D |
|
|
|
|
|
+ vAuB b а + алЩд 6 с -г Юл«в с а + wAvB c b) = |
|
|||
= — |
Гилыв o2 + vA vB b2 + юл юв с2 + (uAvB + vAuB) ab cos у + |
|
|||
AB |
|
|
|
|
|
|
+ (uAwB |
wAuB) ac cos ß + (vAwB + wAvB) bc cos а]. |
|
||
Таким же образом гопределяем а' = В С и ß' = Л С (см задачу XIII). Матрица (М-1) может быть получена и неграфически — ре шением системы уравнений прямого преобразования (1) относи-
тельно а, Ь, с.
Приводим последовательную запись этого решения в матричной форме.
1. Записать определитель Д матрицы прямого преобразования и вычислить
его:
“л ѴА |
®л |
( |
|
Uß ѵв |
шв |
||
1“л |
|||
ис °с |
®с |
|
VB |
W B |
uBwB |
VC |
w c |
°л- “с wc |
U ß V ß
w A .
u c Vc
70
2. Заменить в определителе Д каждый минор 1-го порядка (каждый член определителя) его алгебраическим дополнением32, деленным на величину опре
делителя: |
uBwB |
|
|
vB wB |
|
|
|
vc wc |
uc wc |
|
|
VAWA |
UA WA |
UA °A |
|
vc wc |
uc wc |
uc |
vc |
А |
А |
А |
|
UA ША |
'M ША |
UA .VA |
|
|
|
ив |
ѵв |
A |
A |
A |
|
3. Транспонировать полученную матрицу, т. е. строки поменять местами со столбцами (повернуть матрицу вокруг ее главной диагонали):
|
иВ Wß |
ѵл w. |
|
|
|
|
|
ѵс wc |
|
|
|
ѵв WB |
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
UB WB |
11А |
«>A |
|
UA |
WA |
|
UC wc |
uc |
wc |
|
UB WB = (М-i). |
|
|
А |
|
|
|
[А |
|
|
ивVв |
|
|
|
и , |
V , |
|
Ur |
|
|
|
|
|
I, |
Д |
|
Д |
|
А |
) |
4. Проверить найденную обратную матрицу: |
|
|||||
|
(М ).(М -!)= |
( ' |
0 |
Л |
|
|
|
О |
1 |
О = (1)33. |
|||
|
|
|
\0 |
О \ |
|
|
32 Алгебраическим дополнением минора 1-го порядка служит дополнитель ный минор (определитель матрицы, оставшейся после вычеркивания строки и столбца, пересекающихся на данном миноре), взятый со знаком (— 1)<+і, где і — номер .строки, / — номер столбца.
33 Правило умножения матриц:
|
|
(Щх |
а 1 2 |
аіз\ |
/Ац |
^із\ |
|
|
||
|
|
|
|
öo< |
^21 |
|
|
|
|
|
f a n bn -j- avlbn - |
ÖJL |
i)J |
азз/ö« |
' ul |
06 |
00 |
- |
|
|
|
G1 3 ^ 3 1 |
ß 11^12 T " |
a jL2&22 + |
a i3 ^ 3 2 |
|
a U & 13 + |
a l2& 23 |
+ |
|||
= j021^11 |
“Ь a2ib2i-f-(^23^31 |
a21&12H“ а22^22 4“ °23^32 |
^ А з |
g -)-Я23^33 |
||||||
\ a 3 j A l + |
Ö 32&21 + |
!a 3 3 ^ 3 1 |
a 31^12 + |
a 32^22 + |
а з Ф з 2 |
|
a 3 lb l3 ~ b |
a 32^23 |
"1" ö 3 3 ^ 3 3 / |
|
Следует отметить, что в общем случае {Ма) - (Мь)ф (Мь)-Ща) •
71
Нетрудно показать, что |
если (Ма) — матрица |
преобразования |
||||
осей от установки I к II, а |
(Мь) — то |
же от установки |
II к III, |
|||
то (Мь) • (Ма) = (Мс) — матрица преобразования |
от |
I к |
III. |
|||
П РЕОБРА ЗО ВАН И Е ИНДЕКСОВ ГРАНЕЙ КРИСТАЛЛА |
— |
У ЗЛ О ВЫ Х |
||||
СЕТОК |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
/г, k, I — индексы |
некоторой |
узловой |
сетки |
в старой |
|
установке; |
Н, К, L — индексы в новой установке. |
Так как семей |
||||
ство параллельных узловых сеток (hkl) разбивает элементарные
единицы (ребра |
примитивной ячейки) а, b, с |
соответственно на |
||
h, k и I частей |
(стр. 36), то для |
вычисления |
новых |
индексов |
Н, К, L нужно |
определить лишь, |
на сколько |
частей |
разбивают |
те же сетки новые элементарные единицы А, В, С. |
г—> |
|||
|
|
|
|
|
Из рис. 50 для двумерного случая, где іі=2, k = 3 и А = 2а + Ь, jß= 2a + 3ö, очевидно, что H=2h + k = 7 и /С=2/г + Зй= 13. Таким
Рис. 50. Преобразование индек |
Рис. 51. Преобразование ин |
сов граней кристалла |
дексов ребер |
образом, каждый из векторов (Л, В) разбит на столько же ча стей, на сколько разбита ломаная, соединяющая его концы.
Для трехмерного случая A = uAa + vAb+ wAc, значит Н=
=uAh + vAk + wAl. По аналогии
К= uBh + vBk -f wBl, L = uch + vck + wc l.
Таким |
образом, м а т р и ц ы п р е о б р а з о в а н и я и н д е к |
|
с о в у з л о в ы х с е т о к |
( г р а н е й ) к р и с т а л л а с о в п а |
|
д а ю т с |
м а т р и ц а м и |
п р е о б р а з о в а н и я осей, т. е. |
72
преобразование символов |
граней |
тоже |
идет по |
к о в а р и а н т н о - |
||
му закону: |
|
|
|
|
|
|
Я \ |
|
h |
|
|
|
|
(М)]. |
и |
k |
= (M-Ч |
|
|
|
I , |
|
I |
|
|
|
|
ПРЕОБРА ЗО ВАН И Е ИНДЕКСОВ |
Р Е Б Е Р |
КРИСТАЛЛА |
(У ЗЛ О ВЫ Х |
|||
РЯ Д О В) |
|
|
|
|
|
|
Пусть [rs/] — старый |
символ |
некоторого |
ребра, |
a ;[i?S7] — |
||
|
|
|
|
|
-> |
—*• —> |
новый (рис. 51). Заменим ребро узловым рядом, тогда ar, bs, ct —>
и AR, BS, СТ—координаты некоторой точки ребра (узла ряда). Очевидно, что
AR -f- BS -(- СТ — ог -)- bs -J- ct.
Из системы
a = uaA + vaB + waC,
b = ubA + vbB + wbC,
с = ис А -f ѵс В + wc С
следует, что
AR + BS + СТ = г (иа А -}- ѵа В + xsig С) + s (ub А -f- vbB -{- wbC) +
+ t (и Д + v ß + wcC) = А (и / + ubs + uct) + B(var + vbs + vjt) +
+ C (a y + wbs + wct).
Таким образом,
R = uar + ubs + uct,
S = var + vbs + vct,
T = war + wbs + wct,
T . e. матрица преобразования |
индексов |
ребер |
«а |
иь |
“с |
|
|
ѵь |
Ѵс |
||||
|
|
|
|
А |
Wb |
Wc. |
Следовательно, индексы |
ребер |
преобразуются |
с помощью |
|||
о б р а т н о й |
т р а н с п о н и р о в а н н о й |
матрицы |
(М~1)' — |
|||
к о н т р а в а р и а н т н ы й закон. |
|
|
|
|
||
73
Очевидно, |
что |
для о б р а т н о г о преобразования индексов |
ребер (от новых |
к старым) нужно пользоваться т р а н с п о и и- |
|
р о в а н н о й |
прямой матрицей (М)': |
|
Разумеется, что то же справедливо и для координат точек. Преобразуя индексы граней и ребер гексагональных кристал
лов в установке Бравэ, целесообразнее всего переходить к трех членным символам, записывая вместо (hkil)-^-(hk-l) и вместо [rsii>£]-»-[r—w s—w-t]. Это даст возможность поступать при преобразованиях обычным путем. К сожалению, в литературе для гексагональных кристаллов чаще приводятся матрицы преоб
разования |
осей |
вида aia2a 3a 4/ßiß2ß3ß4/YiY2Y3Y4/6i62Ö364. В |
подоб |
||||||||
ных случаях рекомендуется перейти к матрице |
обычного |
типа |
|||||||||
(см. также задачи IX, X, XI): |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
“l |
«2 |
ct3 |
«4 |
«1 — “з |
“ 2 — “ з |
> Л |
|
|||
|
ßl |
ß2 |
ß3 |
ß4 |
|
||||||
|
ßl |
Рз |
ß2 ß3 |
ßâ )■ |
|
||||||
|
Yi |
У-2 |
Ys |
Y4 |
|
||||||
|
к |
— s3 |
s2— 8з |
б4; |
|
||||||
|
А |
А |
|
Ö3 |
Ö4. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
§ 2. Вычисление матриц преобразования осей при различных |
|||||||||||
|
|
|
заданиях координатных систем |
|
|
||||||
I. Координатные |
оси |
X, У, Z |
в |
новой установке направлены |
|||||||
по ребрам |
[rjSi^j], |
[r2s2£2], |
|
(EFG) — новый |
символ |
грани |
|||||
Ш) ; е, f,g¥= о.
Допустим, что матрица преобразования осей
|
UA |
VA |
WA |
( М ) |
Uß |
Vß |
Wß |
|
Mc |
Vc |
Wc. |
Нетрудно |
заметить (рис. 52), |
что числа, записанные в 1-й строке |
||
матрицы |
(М), — координаты |
первого от |
начала узла (N^ на |
|
оси X', измеренные элементарными единицами вдоль координат |
||||
ных осей X, |
У, Z старой системы, числа 2-й строки соответствуют |
|||
подобным координатам первого узла (Л ) |
на оси У', 3-й строки — |
|||
то же для оси Z'. Взяв отношения этих чисел и исключив общий |
||||
множитель, |
получим старые |
с и м в о л ы |
н о в ы х к о о р д и н а т |
|
ных ос е й |
X', Y', Z': |
|
|
|
|
иа :vA:wA = п1 т1: nls1: n1 t1 = rx: sx: t±-*• |
|||
|
Uß ■Qß • Wß = ^2^2 • |
= ^2 ’ ^2 ■^2 [^2^2^2]> |
||
74