Файл: Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
ройства распределенного контроля и устройства временной обработки информации. Управляющее устройство является динамической системой с распределенными параметрами. Этот результат имеет качественный принципиальный ха рактер.
Найдем приближенно оптимальное, более простое уп равление. Напомним, что 0<Z.°(y|)<L°(L) и заменим L°(vj) константой L°(fi*) = D, где 0<т]*</.. Тогда из Ц. 167) легко получаем
|
|
|
__D_ |
||
«*(*) = Ка Ч*У+ Ч ) - М 1К„ \е |
—Ш |
■v |
|||
е |
'[у(х,*?—0)— |
||||
|
|
О |
О |
|
|
Кахи |
t—0- |
л: |
dx 1 dQ |
(1. 170) |
|
v |
|||||
|
|
|
|
||
Для приближенной реализации закона управления, ока зывается, необходимо иметь устройство распределенного конт роля с экспоненциальной функцией веса и фильтр — аперио дическое звено. При/Гцд.= 1 сигнал u(t) подается на вход фильтра через блок с передаточной функцией
JL . \ |
V |
—р?и |
0 W ~ D + P |
>- |
|
где |
lHD |
|
сс=е |
|
|
АГ*
Значит, высказанное выше предположение о возможности представления УУ в виде совокупности устройств распреде ленного контроля и фильтра с сосредоточенными параметра ми справедливо лишь для субоптимальной системы.1
1.5. ДУАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
СЧИСТЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1, 5. 1 . Алгоритмы управления
В этом подразделе мы приведем полученные в замкнутой форме общие алгоритмы управления многомерными линейны-
7 |
2247 |
97 |
ми объектами е запаздыванием. Рассмотрим случаи, когда запаздывания по каналам управления одинаковы или различ ны, а возмущение представляет собой векторную случайную величину с коррелированными компонентами или марковский векторный случайный процесс.
Математическая модель объекта и измерительного уст ройства имеет вид
экв
<7[s]r=CP p[s]+/4l/[s—т] = |х [s]~t~A l/[s—т],
1/[s]= F (k[s],s), |
(1, 171) |
y[s] = G?[s]+£A[s], |
8=1,2,... |
где —/-мерные векторы типа
*ф] = || ui [s]...M;[s] || г
l/[s—1 ]= || "yjs— x j,...Vils—X/] || r ,
y[s],/i|sl—тг]— мерные |
векторы, |
размерность |
вектора |х |
равна д; |
|
нелинейный |
оператор; |
F(-)— взаимнооднозначный |
|||
А —(/Х/)-матрица, |
В—(7]Х>]) = матрица, | В | =£0, |
||
Ср. —/ХЛ)-матрица, G—(гХ/) — матрица.
Матрицы в общем случае зависят от времени s.
Блок-схема объекта управления показана на рис. 1. 11.
Блоки, характеризующиеся матрицами А, |
, G, В и вектор- |
|||
функцией F, обозначены соответствующими буквами. Вектор |
||||
ные сигналы отмечены двойными |
стрелками, п, тг, |
..., п — |
||
звенья с |
чистым запаздыванием Т1< Т г < ...< т /. |
Вначале |
||
считаем, что все запаздывания xt |
одинаковы: т /= т , / = 1 , ..., /, |
|||
a p[s] = p |
— векторная случайная величина. |
|
||
Значения вектора помехи /i[s] |
в различные моменты вре |
|||
мени независимы, но составляющие вектора h[s] могут быть между собой коррелированы. Закон распределения р и h — нормальный- с плотностями вероятности:
|
Рис. 1.11 |
|
|
P(A[s])~A/(0,q 7 ) |
|
|
|
гили |
|
|
|
P{h[s\)=yf |
* 1 e'cpj- y At[s]Q aA[s] j, |
(l. |
172)V |
|
V |
(1. |
173) |
—l —1
•где Qh ,Q (j.— ковариационные матрицы размера (tjX'»]) и <ЛХД); р и Л Is] —статистически независимы.
Критерий качества квадратический общего вида:
rs+T=Hf{^r[C?(9*-^[s+x])(7*-<7[s+T])r] | и [«-1], |
(1. 174) |
|
y|s—1]}=Л4{(?* —^[s+ x])7" |
—ф + т ] ) | / s |
!} |
с симметрической матрицей весовых коэффициентов Сд=СдТ. Буквой Is- 1 обозначена условно информация об объекте, на-
99
копленная в УУ к s-му такту, т. е. информация, содержащаяся в сигналах и, у во все предшествующие моменты времени, включая (s—1 )-й: tr — след матрицы; <7* — вектор задаю щих воздействий. Ограничения на управляющие воздействия отсутствуют.
Рассматриваемая система является нейтральной, по тер минологии А. А. Фельдбаума [В. 15]. Для нахождения опти мального вектора достаточно минимизировать по w[s] уделы ный риск rsj_z .
Подставив (1. 171) в (1. 174) и выполнив операцию вы числения математического ожидания, получим при VlsI = «[sl
rs+T=M{(<7 *[s-l-r]— |
Aa\s) — |
—Cp. p-)//s_i} = (<?*[s+-r]—Л«Ы—Cjj. / н ^ ^ С ^ Д з + т]— |
|
— 1 |
], (1. 175) |
ms_i) + ^r[Cr (Ac 7c a Q;J.S_ ! |
|
где ms _i=yVl{a//s_1}—апостериорное математическое ожи дание вектора jj. при известных из мерениях выхода до (s—1 )-го такта
включительно;
—1
QaS_ l — апостериорная корреляционная мат
рица.
Поскольку оба слагаемых в (1. 175) положительны и от m[s] зависит только первое, то минимум функции риска
r s_i__ достигается, когда первое слагаемое равно нулю, т. е.
|?:i:[s+ T] —A«*|sl—Сц /ns- i = 0,
u:i=[s]=A-1(^H:ts-r1:]— |
ms- i) = A - 1z. |
(1.176) |
Условия существования и единственности управления |
||
Введем обозначения: |
|
|
(?*[s-M — |
1) — II ztj || /х ь |
|
А = II aij II 1x1 ■
.Оптимальное управление (1. 176) существует, если ранги матриц А и А\ совпадают, где
1(30
|
|
Zil |
|
|
|
|
|
i4i = |
г и |
|
|
|
|
|
aix.-.ац |
2/1 |
|
|
|
|
Это условие выполняется, если система (1. 171) |
полностью |
|||||
управляема. |
управление (1. |
176) |
единственно, |
если |
||
Оптимальное |
||||||
■Ч*—Ср ms - 1=£0 и ранг матрицы |
А |
равен I, т. |
е. | А ( |
=^0, |
||
где | А | — определитель матрицы |
А |
[1. 20]. |
|
|
||
Удельный |
риск при оптимальном |
управлении |
|
|||
г * 5 + т— ^ '[С 7'|1 CqCy. Qfi.s—1 l = (,'s+'c)min
не зависит от управлений u[l\,i^s, следовательно, управ
ление м*[5) является одновременно оптимальным и по
П
критерию 7?„=Уи| ^ 1F,-J, т. е- обеспечивает минимум
/=т+ 1
полного риска.
Если условия существования и единственности не выпол няются, это значит, что нет такого управления u[s], при кото ром достигается нуль первого слагаемого в (1. 175) и нельзя пользоваться формулой ( 1 . 176). Оптимальное управление в общем случае найдем, продифференцировав по и[«] функ цию г5 |_т и приравняв производную нулю.
Применив правила векторного дифференцирования, по лучим
h-)/7s—j }= 0 ,
АтС9(?*[5+т] - А и*[5]-С^ ms_I)==0 .
Оптимальное управление в матричной форме находим из
соотношения |
|
АтС9А«*[5]= Л тС9(.7Ня+ х] - С ^ «*_!), |
(1.177) |
101
если |х — векторная случайная величина или
Л 7'С ?/1 и *Ы = А 7'С (г(г7*[5+т! — rns its-f-x]), ( 1 . 178)
если ji[s] — векторный случайный процесс, причем
/ns_ 1[s+T]=.M{Ji[s+^]//s_ 1) - |
(1. |
179) |
условное математическое ожидание р, в |
( s + t ) - m , |
такте |
вычисленное по известной информации, накопленной к (s—1 )- му включительно моменту времени.
Условия существования и единственности управления Обозначим:
D=ATCqA= Н || ш ,
Z = A TCq{q*[s+t]—Cp.ms_ i)= || Z,y|| /х1.
Условие существования решения (1. 177): ранги d и dt мат риц D и D\ должны совпадать, где D\ — расширенная мат рица:
Du .• • DU Z n
Dn •• ■D n
to . .
При d=di = l из |
(1. |
177) |
получаем |
(1. 176). |
Пусть |
0<id — di<l. Формула |
(1. |
177) |
является |
исходной |
для на |
хождения единственного значения оптимального «укорочен ного» d-мерного вектора управляющих воздействий
Вводя в рассмотрение «урезанные» матрицы
D d= || DdtJ || dxd,Zd= II |
Z dtj || dXU ttd[s]= || |
|| dXu |
где |
(Dd)T — Du, | D? | =7^0 , |
получим |
|
|
ud[s]= (Dd)~lZ d. |
(1 . |
180) |
|
Удельный риск при оптимальном управлении Mrf[s] равен
rds+z> r*s+x.
Заметим, что вывод формул (1. 176), (1. 177) мы провели, не используя плотности вероятности р. и h. Следовательно,
102