Файл: Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами.pdf

Всегда M{[signy I —M{signy Г | mis—l] = |j.)]!}<c; c= const

и mis] сходится к р с вероятностью единица при выполнении условия

7'=(m[s]—\>.)M{(signy / — M isigny I | mts] = jj-}) | mls]}>0,

(2. 92)

7 = 0 только при m[s]= |j..

Сходимость алгоритмов для случаев, когда ц, — вектор или матрица параметров, доказывается аналогичным путем.

Сходимость и работоспособность некоторых алгоритмов, в частности для объекта, описываемого уравнением диффузии (2. 58), проверены методом статистического моделирования на аналоговой вычислительной машине типа ЛМУ-1 и ЦВМ [2. 39, 2. 40]. При моделировании на ЛМУ-1 исследовались алгоритмы (2. 78) оценки параметров, входящих в граничные условия, а также алгоритм, аналогичный (2. 64.) для оценки коэффициента диффузии ц:

(Lftt

- f t - = т(0 {2 «(У«м 1—2 у«+Ук- i ) - т1(ук+v- 2 у,+У*-, у — 6о*А]),

где zK=-^+h(l),y,, = y(Kbx,t).

2. 7. ТОЧНОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ АЛГОРИТМОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

К центральным вопросам проблемы идентификации рас­ пределенных систем относятся следующие:

1. Можно ли (и при каких условиях) определить неизвест­ ные параметры, характеризующие динамику непрерывно рас­ пределенных систем по измерениям их текущего состояния в

конечном числе пространственных точек в дискретные момен­ ты времени?

2. Как зависит точность оценок от интервалов квантования Ах и At по пространственной координате и времени?

Рассмотрим задачу идентификации распределенного объ­ екта, описываемого системой линейных относительно неиз­ вестных параметров р дифференциальных уравнений в част­ ных производных первого или второго порядка:

где etx,t).— невязка, lime(x,/)=0 .

Дх—о

Д /-.0

Пусть критерий качества аппроксимации квадратичный вида (2 . 66), и функции состояния q измеряются без помех. Описанные выше алгоритмы (2. 70) обеспечивают сходимость оценок m в. область, для которой

Мб-

Условие существования и единственности решения задачи идентификации

Решение матричного уравнения (2. 98) имеет вид

Условие существования решения (2. 101) задачи идентифи­ кации состоит в следующем: элементы ау существуют в точ- -ке.х=кАх, t = sAt и ранги матриц А и Л.Л, х = 1, 2, ... совпада­

ют, где

147

Приведенные условия по существу являются условиями идентифицируемости. Если не для всех, а лишь для некоторых х имеет место В %-^ 0, можно говорить о частичной идентифи­

цируемости. В этом случае вместо (2. 101) запишем

Аналогичные условия можно получить для системы с по­ мехами h(x, t) в измерительных устройствах. В этом случае

и(2 . 100).

2.Проверка выполнения условий существования и един­

ственности решения.

3. Вычисление по (2. 101) или (2. 102) оценок

148

Ниже, на примере объекта, описываемого уравнением в частных производных второго порядка, проведен анализ точ­ ности идентификации по указанной методике [2. 40].

Точность идентификации распределенного объекта второго порядка

Пусть уравнение объекта имеет вид (2. 58), причем

q(Q'i) = u{t)=sin{ut-\-z)\ х > 0 , ^> 0 ,

где z — случайная величина, равномерно распределенная на интервале (0,2я). При этом взаимнокорреляционная функция R qq между сигналами q{x\, t\) и q{x2, t2) (автокорреляцион­ ная функция поля q(x, t)) определяется выражениями:

Rgq{Xl,X2,tu t2) = K(u},X1)K(w,x2)cOsW(t2—/,) —F(a>)(x2—*i)1;

(2. 104)

Vw? J; F ( a ) = ^ = V w £ .

Поскольку нас интересует лишь методическая сторона вопро­ са, ограничимся рассмотрением более простого случая, когда коэффициент и—0.

Производя по-разному дискретизацию, можно получить несколько разностных аналогов исходного уравнения:

I. ?[/<•,s-f 1]— ffU.s]— (?[/с— l.s]— 2?[fc,s]+0[K+l,s]) = Kj[.

149