Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1.pdf

вительно за тот же промежуток времени, что и первой. Следова­ тельно, декремент колебаний по второй форме должен быть мень­ ше, чем по первой.

Ввиду большого разброса результатов экспериментальных ис­ следований не представляется возможным сделать окончательное заключение о характере затухания высших форм колебаний в си­ стемах со многими степенями свободы. Наиболее, обоснованными можно считать следующие выводы:

1. При испытании различных сооружений ударными и вибра­ ционными нагрузками можно выявить колебания не только по первой, но и по высшим формам. В некоторых случаях вибра­ ционным методом удавалось вызвать колебания по каждой из че­ тырех первых форм [122]. Замеренные в натуре частоты первой и высших форм колебаний находятся в удовлетворительном соот­ ветствии с частотами, вычисленными по одномерной схеме систе­ мы со многими степенями свободы.

2. Декременты высших форм колебаний в некоторых экспери­ ментах не зависят от частоты и имеют постоянную величину для первой и высших форм. В других экспериментах установлена за­ висимость декремента от частоты, причем с увеличением порядка гармоники декременты могут как возрастать, так и уменьшаться. Разброс результатов измерения степени затухания при высших формах колебаний может зависеть от ошибок измерения и от раз­ личия в методах проведения эксперимента и обработки записей. Для построения математических моделей сооружений со многими степенями свободы необходимо принять определенный закон за­ висимости декремента от номера гармоники. Наиболее согласо­ ванным с известными результатами экспериментов будет вывод о постоянной величине декремента для всех форм колебаний сис­ темы со многими степенями свободы. Эта предпосылка соответст­ вует результатам, к которым приводит гистерезисная теория за­ тухания, получившая в настоящее время широкое признание.

3.Сравнение измеренных в натуре и определенных аналитиче­ ски частот колебаний различных сооружений по первой и высшим формам свидетельствует о том, что затухание, даже при достаточ­ но большом значении декремента, не оказывает существенного влияния на частоту.

4.Величина декремента колебаний зависит от материала и

конструкций сооружения. По этому вопросу имеются результаты многочисленных измерений, относящихся главным образом к пер­ вой форме колебаний и удовлетворительно согласующихся между собой.

В среднем для зданий с несущими стенами и диафрагмами декремент колебаний равен 0,34-0,4; для каркасных зданий — 0,154-0,20; для гибких сооружений в зависимости от материала — 0,14-0,15.

Математические модели дискретных схем со многими степеня­ ми свободы следует составлять на основе системы обыкновенных

50

дифференциальных уравнений, решения которых соответствуют сформулированным выше основным положениям. Кроме того, должны быть приняты во внимание следующие соображения.

Большинство вопросов теории сейсмостойкости в настоящее время решается методами линейной теории колебаний, на основе которой можно получить результаты, удобные для практических приложений и удовлетворительно согласующиеся с характерными особенностями сейсмических воздействий. Некоторые исследова­ ния, например работа Хадсона (D. Е. Hudson [139]), специально посвященные оценке точности линейной теории, приводят к зак­ лючению, что в случае соответствующего подбора параметров ли-, нейных уравнений можно определить поведение системы ■при сейсмических воздействиях с достаточной точностью. Изучение влияния нелинейных факторов имеет существенное значение для дальнейшего совершенствования теории, но и возможности линей­ ной теории еще не полностью исчерпаны. В данной работе вопро­ сы рассматриваются в линейной постановке, причем при построе­ нии математических моделей ставится требование, чтобы для ре­ шения задач можно было использовать детально разработанный аппарат теории линейных систем, широко применяемый в радио­ технике и теории автоматического регулирования. Наконец, урав­ нения, описывающие различные механические системы, должйы допускать как численные методы решения, так и применение элек­ тронно-аналоговых установок.

Для того чтобы удовлетворить всем поставленным условиям, система дифференциальных уравнений, описывающих колебания сооружения со многими степенями свободы, во-первых, должна быть линейной, устойчивой, иметь действительные коэффициенты,

всоответствии с чем частотные характеристики должны быть функциями аргумента іа с действительными коэффициентами. Вовторых, решение должно получаться в виде рядов по формам ко­ лебаний той же механической системы без затухания. Декременты колебаний по всем формам должны иметь одну и ту же величину.

Аналогичные условия можно сформулировать и для уравнений

вчастных производных, описывающих затухающие колебания систем с распределенными параметрами.

Совокупность указанных условий равносильна постановке об­ ратной задачи: по известным свойствам решений составить систе­ му дифференциальных уравнений колебаний дискретных систем или уравнение в частных производных для системы с распреде­ ленными параметрами.

Ниже приведено решение этой задачи с помощью специальных операторов, устанавливающих зависимость рассеяния энергии от динамических свойств системы и граничных условий. При этом оказалось возможным условие постоянства . декремента колебаний

.заменить более общим условием изменения декремента с частотой по заданному закону.

51

§ 2. Уравнения колебаний дискретной системы с коэф ф ициентами затухания, пропорциональны м и м атрицам распределения масс и ж есткости

Уравнение затухающих колебаний дискретных систем со мно­ гими степенями свободы и затуханием, пропорциональным скоро­ сти перемещения сосредоточенных масс, в матричной записи име­ ет вид-

М ' х + С х + К х = 0. (ИЛ)

Прописные буквы обозначают квадратные матрицы n-го порядка: М — диагональная матрица масс; К — матрица жесткости; С— матрица рассеяния энергии. Черта над строчными буквами обо­ значает п-мерный вектор. Из курса теоретической механики [69, 114 и др.] известно, что можно представить решение уравнения (II. 1) в виде ряда по формам колебаний соответствующей системы

при условии, что матрица затухания С пропорциональна матрице

г52

где W2— диагональная матрица квадратов собственных значений

форм колебаний, приближаются к частотам незатухающих коле­ баний а>г, а декременты ог обратно пропорциональны частоте.

Эти результаты противоречат действительности, так как много­ численными экспериментами, в том числе и приведенными в § 1 настоящей главы, установлено, что высшие формы колебаний зату­ хают раньше основного тона. Если бы соотношение (П.9) было справедливо, амплитуды всех форм колебаний с течением време­ ни уменьшались бы в одинаковом отношении. Из этого, однако, не следует, что предпосылка о пропорциональности сил сопротив­

ления скорости перемещения х, выражаемая уравнением (П.З), противоречит фактам. Как будет показано далее, противоречащим

53