Файл: Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений.pdf

Скачать файл (5,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 66

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Среднее значение дисперсии ошибки квантования найдем как сум му дисперсий на всех уровнях от 1 до A^mav:

1 Nmax

D[A,n] = \|^ Е	®(/n) * /n.	(5.40)
N	1

В этой формуле закон изменения величины шага квантования

д /N = /( * ) •

Его можно определить из условия минимума дисперсии ошибки квантования, т. е. минимума выражения (5.40) при дополнитель ном условии нормировки

У* ffi'(7\) Л /\ = 1.

(5.41)

N I

Эта задача аналогична той, которая была решена в главе III. Ре зультаты ее решения известны |[12] и будут приведены для некото рых законов распределения w(l).

Будем считать заданными максимальное значение передаваемой величины Z.max, число уровней квантования Мгаах и плотность рас пределения w(l). Значение Z.min для простоты положим равным нулю. Тогда дисперсия ошибки квантования для различных зако нов распределения w(l) будет выражаться^ приведенными ниже формулами.

1. Нормальное распределение.

	О	(У‘3)аяф®
	с кв пори			(5.42)
	-	24 v2 т211		(5.42)
	^ max	24 v2 т211
Здесь	v — Л,	дисперсия	закона	w(l). Эту формулу
можно	переписать в другом	виде, учитывая		(5.18):
	2	2
	^кв норм __ Зкв равн			(5.43)
		— ~ 2	Тнорм*	(5.43)
Здесь
	"(норм '	2^		(5.44)
	"(норм '	2^

116

2. Двухстороннее экспоненциальное распределение. Для закона

			J KB экс п		-	и	-- е	з	(5.45)
			#2	4 V ,2/я2					(5.45)
З д е с ь	v, =	а/,шах. Аналогично (5.43)
				■>кв эксп	укв равн				(5.46)
					L 2		Тэксп»		(5.46)
				Тэксп =	~	е~ • ')		•	(5.47)
3.	Треугольное		распределение.			В	этом случае
				^•тах	И	,	K \ L t
				- 2		,	K \ L t
		W{1)-		-ш ах
		W{1)-					1 > Ц
							1 > Ц
Для	этого	закона	распределения		дисперсия				приведенной ошибки
квантования
			2	л		2
			Окв	9		°кв равн			( 5 . 4 8 )
			, 2	1 2 8 / га 2П		/ 2		^ тр’	( 5 . 4 8 )
			, 2	1 2 8 / га 2П		/ 2		^ тр’
			^max			£max
				Ттр =	0 . 5 4 .				( 5 . 4 9 )

Приведенные выше формулы для дисперсий ошибок квантова ния позволяют вычислить только первое слагаемое в выражении дисперсии полной ошибки (5.9):

у	а о 6 1 Ц	д к в	,	D [ A n n « ]
“	7 2	~ ) 2	- Г	, 2
	'-m a x	*-ш ач		* - т а х

Несколько сложнее обстоит дело с определением дисперсии ошибки в воспроизведении функции /n за счет передачи по кана лу с шумами.

117

При	неравномерном шаге квантования			воспользоваться фор
мулой	(5.19)	не представляется	возможным,	так как теперь вели
чина ошибки		в воспроизведении	функции	зависит не только от

величины ошибки в передаче номера уровня, но и от того, какой номер передавался.

Запишем выражение для величины ошибки воспроизведения /n, если был передан номер уровня N, а получен N*:

				N*
/n — /n = Ann, =					А А-	(5.50)
				i= N
Отсюда можно записать	выражение				для среднего	квадрата
ошибки
AnN* = I I	Ann* -p(N)-p(N*\N).					(5.51)
N N*
Подставляя (5.51) в (5.50),	получим
( £N* a /,		\ \|	2	-p(N)-p(N*\N).		(5.52)

1 = N

Эта формула позволяет произвести подсчет величины среднего


квадрата ошибки, так как все		входящие в нее величины в прин
ципе известны.	Поскольку считается, что задача		оптимального
квантования для1заданного закона распределения			w(l) решена,
то Д/, и p(N)	известны. Что же касается значений		р	N*\N\ то
они могут быть определены для каждой пары (N, N*)				по матрице
трансформации	\|\| p(N*\N \|\|,	элементы которой могут быть вы

числены для канала с нормальным шумом, если известны способ кодирования, спектральная плотность шума N0> энергия кодового слова Q, а также способ приема.

Если используется цифровой метод передачи при примитивном кодировании, то величина вероятности р[j i\ будет функцией от

веса вектора ошибки o>,j (т. е. от кратности ошибки в кодовом

слове ^). При этом большие ошибки могут иметь большую вероят ность, ибо им может соответствовать малый вес вектора ошибки.

В случае применения оптимального распределения энергии между разрядами кодового слова вероятность больших . ошибок резко уменьшается,, а вероятность малых — возрастает. Это понят

ие

но, так как в этом случае старшие разряды числа, имеющие боль шую энергию, лучше защищены от воздействия помех, а искаже ние (трансформация) символов младших разрядов изменяет чис ло N на величину малую. Это дает основание считать, что при оп тимальном кодировании в канале ошибка воспроизведения пере данного числа

А N = (N* — N) С Л'-

(5.53)

В этом случае подсчет дисперсии ошибки воспроизведения переда ваемой величины /\ при оптимальном квантовании может быть выполнен несколько иначе, чем при примитивном кодировании. С этой целью, используя найденную при решении изложенной выше задачи по оптимальному квантованию зависимость N = N ( I), изо браженную на рис. 47, определим связь между величиной ошибки AN и Ann*- Учитывая (5.53)

A N = N'(l)»-Ah.

(5.54)

Рис. 47.

Дисперсия ошибки AN на уровне N

Dn[A(V| = [,V '(/)P .D [4nn* ].

(5.55)

119

Чтобы определить среднюю по всем уровням величину дисперсии, проинтегрируем правую часть выражения (5.56) по всем значе ниям I с учетом их вероятности:

£>[ДN N . ] =	(5.56)
	о

Поскольку принято условие (5.53), то дисперсия D[AjV] не зави сит от / и ее можно вынести за знак интеграла:

D[ANN*H D [A 7V ] Vj х w(l)	(5.57)
о

Так как N представляют собой порядковые номера уровней, то шкала N является равномерной. При оптимальном квантовании для многих распределений w(l) появление любого номера уровня примерно имеет равную вероятность:

Р ( Л 0 - ^ . *

(5.58)

Для этого случая дисперсий) ошибки Z9[A/V| при оптимальном кодировании была определена в главе III. Что же касается зна чения интеграла в формуле (5.57), то его несложно найти, зная w(l) и определив N'2(l). В частности, при

	ш(/) =	1	е
	ш(/) =	2 тс	е
	ог \	2 тс
max	//ч		*тах
			*тах
!			Ф‘ 2 в, 1 / 3
Подставив —es* = v	в (5.58), получим
Qi
^ [ Д ш * ] норм =			]равн"Тнорм.