Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf

(С) Московский янсягаут ххмжческого машиностроения. 1973г.

4

^5

Стремление к оптимальности принимаемых решений и расширение

ния, оперативного управления, распределения сырья и ресурсов, проектирования аппаратов и систем чрр*аычайно разнообразны. Разнообразие это связано с тем, что в каждой задаче могут быть различные сочетания целевой функции и ограничений на искомые пе­

ременные. И, хотя видов целевых функций и типов ограничений не так уж много, число их возможных комбинаций очень велико. В этих условиях инженеру недостаточно знать "рецепт" решения тех или иных типовых задач, а нужно построить алгоритм решения для

конкретной нестандартной задачи.

Основные вопросы, возникающие при исследовании задачи оптими­ зации, сводятся к установлению условий оптимальности, выбору вы­ числительных алгоритмов решения, многие из которых тесно связана

с условиями оптимальности, наконец,к нахождению оптимальных скользящих режимов, если таковые возможны. Все эти. вопросы найоЧ-

лее полно решены для задач управления объектами, харантеризутаде мися дифференциальными уравнениями.Представляется заманчивым перенести методику решения этих задач на более широкий класс объ­ ектов. Однако проведение всех связанных с этим выкладок для каждого из возможных сочетаний целевой функции, связей и ограни­ чений практически невозможно.

В книге принят несколько иной подход. Именно, первоначальв». исследована задача со связями, имеющими каноническую форму. Эта вспомогательная задача удобна тем, что к ней могут быть приведе­ ны задачи с самыми разнообразными типами условий и целевых фукк Пий, что позволяет легко формулировать вычислительные алгорит­ мы, условия оптимальности и существования скользящих режимов

6

для каждой конкретной задачи без каких-либо промежуточных выкла­ док. Кроме того, подобный подход позволяет легче пояснить влияние того или иного вида условий на качественный характер решения.

Книга состоит из трех глав, посвященных задачам нелинейного

программирования, непрерывным и дискретным задачам оптимального управления соответственно. Нелинейное программирование сознатель­ но изложено в очень краткой и упрощенной форме.Несколько большее

внимание уделено тем методам, которые являются конечномерной ана­

логией методов решения непрерывных задач. Дискретные задачи опти­ мизации рассмотрены как частный случай общей задачи нелинейного программирования со специфическими условиями, наложенными на пе­ ременные. В последнем параграфе этой главы дан подход к дискрет­ ным задачам, основанный на введении канонической формы связи,ко­

щенные задаче нелинейного программирования в среднем и скользя­ щим режимам в непрерывных задачах управления.

Изложение материала в книге не носит строго формальный ха ­ рактер. Доказательства тех или иных утверждений или просто опу­ щены, или вместо полного доказательства приведена его схема. В ря­ де случаев определения и формулировки не являются математически полными, так как стремление к такой полноте привело бы к увели­ чению объема рукописи.

Нумерация параграфов принята сплошной, причем каждый из па­ раграфов разбит на отдельные пункты, выделяющие основные момен­ ты изложения.На эти пункты,кая правило, и производятся ссылки.

Звездочкой отмечены параграфы, которые при первом чтении мож­ но опустить.

ВВЕДЕНИЕ 7

§ I . Примеры задач оптимального управления и некоторые определения

держивать таким образом, чтобы температура в топке была мак­ симальна. В том случае, когда расход топлива постоянен, тем­

пература определяется только подачей воздуха. Причем зависи­

мость ( Ы ) (рис.1.16), очевидно, имеет максимум, так как

при малом расходе воздуха сгорает не вое топливо, а при большом расходе избыточный воздух охлаждает печь.

Назовем целевой функцией задачи функцию, значение которой нужно максимизировать (минимизировать) в результате решения.

Подробнее на свойствах множеств и действиях с ними мы оста­ новимся позднее. Сейчас же подчеркнем, что множество ф и целе­ вая функция должны быть такими, чтобы для каждого элемента Л можно было вычислить I , причем значения I на t) не должны быть бесконечно большими при решении задачи о максимуме и бесконечно малыми для задач 6 минимуме I . Иначе говоря, целевая функция

скоростью, то изменение концентрации во времени пропорционально ее, изменению по длине