Файл: Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений.pdf

Оба слагаемых в (5.9) зависят от величины шага квантования /. При этом с увеличением А/ первое слагаемое возрастает, а второе

бранном основании системы счисления т. Это и составляет содер­ жание сформулированной выше задачи.

В аналогичной постановке задача рассматривалась в (10,11]. Однако се решение проводилось только для случая примитивного кодирования при т = 2. Ниже рассматривается) более широкий крут вопросов, связанных с отысканием оптимальных способов пе­ редачи непрерывно изменяющейся величины цифровым способом при любых значениях т и различных законах распределения w(l).

5.2. ОШИБКИ КВАНТОВАНИЯ ПРИ РАВНОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ КВАНТУЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Полная дисперсия ошибки при передаче непрерывной величи­ ны I складывается из дисперсии ошибки квантования и дисперсии ошибки за счет помех в канале.

103

Рассмотрим зависимость дисперсии ошибки квантования от числа интервалов квантования jVmax при равномерном шаге кван­ тования АI, т. е. когда величина интервала квантования постоян­ на и не зависит от номера уровня квантования:

В этом случае для любого значения I максимально возможная раз­ ница между истинным и квантованным значениями

В дальнейшем будет удобнее пользоваться понятием приведенной ошибки

- ( ! w )n

104

Дисперсия ошибки для Ы - т о интервала

(5Ш)тах

О2 (8;м) = J W (8да) (8;n)V (8/N ). (5.16)

- ( 8w)max

Дисперсия ошибки квантования

Полученное выражение для дисперсии приведенной ошибки квантования непрерывной величины / позволит определить сум­ марную дисперсию ошибки передачи.

5.3.ЗАВИСИМОСТЬ ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ ПЕРЕДАЧИ

НЕПРЕРЫВНОЙ в е л и ч и н ы ц и ф р о в ы м м етодом от ч и с л а у р о в н е й п р и р а в н о м е р н о м к в а н т о в а н и и

Выше рассмотрено первое слагаемое правой части формулы (5.9). Второе слагаемое, выражающее дисперсию ошибки воспро­ изведения передаваемой величины за счет помех в канале, можно записать, используя (2.42), если при передаче применяется! при­ митивное кодирование с основанием /и:

105

Дисперсия приведенной ошибки в соответствии с (5.13)

О

(5.20)

Обозначим для краткости

Тогда

Полученное выражение позволяет вычислить суммарную диспер­ сию приведенной ошибки передачи, но в таком виде оно пока что не раскрывает связи величины дисперсии ошибки с числом уров­ ней квантования. Эта связь может быть установлена, если выра­ зить вероятность искажения (трансформации) символа рош через число интервалов квантования. Это несложно сделать, зафикси-

Полагая, что прием сигналов, отображающих символы числа, про­ изводится с помощью когерентного приемника, можно записать выражение для вероятности ошибки в виде

тельном виде выражение для дисперсии относительной ошибки воспроизведения:

У ■- 12Ту 5 1 + 2 т V т — \ ■А'шах • е х р

(5.24)

В таком виде выражение (5.24) позволяет проследить зависимость

1С6

величины. Из формулы видно, что стремление уменьшить ошибки за счет квантования путем увеличения числа интервалов N wax при­ водит к увеличению ошибки за счет искажений в канале, так как при этом энергия, приходящаяся на каждый символ п-разрядного числа, уменьшается и вероятность его трансформации увеличива­ ется.

Иногда удобнее пользоваться выражением для-гднсперсии при­ веденной ошибки в несколько ином виде:

мощью. Однако, как видно из той же формулы, при увеличении п растет второй член выражения, стоящий в квадратных скобках, который соответствует ошибкам за счет помех в канале. Задача состоит в определении такого значения пори при котором правая часть выражения (5.25) становится минимальной.

Определить значение п0pt путем приравнивания производ­ ной по п от Y не удается из-за трансцендентности получаемого выражения. Положение минимума функции Y=f(n) легко опреде­ лить по графикам, приведенным на рис. 41, 42. На этих рисунках изображены зависимости для случая равномерного квантования

и примитивного кодирования при различных основаниях т чисел, используемых в качестве, кода.,. Параметром ,.кр'щзых является от­ носительная! энергия кодового слова Н2, характеризующая усло­ вия передачи в канале.

Как видно из графиков, при малых значениях п, по мере уве­ личения значности чисел, происходит линейной уменьшение Y. На­ чиная с некоторых значений п, скорость уменьшения замедляется,

Следует также отметить, что, по мере увеличения параметра Н7, положение минимума смещается в сторону больших п, а сам он становится глубже. Анализ графиков показывает, что зависимость

пор1= /( # ) носит почти линейный характер. Для приближенных оценок его можно считать линейным. Это:позволяет получить эм­

107

оо

Отсюда оптимальное число интервалов квантования при исполь­ зовании бинарного кода

(5.27)

При оптимально выбранном числе интервалов квантования мини­ мальная величина дисперсии полной приведенной ошибки воспро­ изведения

= 1+ 2 ,^ +1 е - ^ " } . (5.28)

Полученные эмпирические формулы удобны для использования при инженерных расчетах. Из графиков также можно видеть, что

с неограниченным увеличением п кривые асимптотически стремят­ ся! к некоторому пределу:

Из проведенного анализа следует, что при определении числа

уровней квантования в диапазоне изменения (Lmax— £ min) не­ обходимо учитывать не только ошибки квантования, но и ошибки

передачи по каналу. Стремление достичь высокой точности вос­ произведения путем увеличений числа уровней квантования может привести к противоположному результату. Следует при определе­ нии nopt исходить из выражения (5.26).

109