Файл: Сытник, В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в строительстве.pdf

костей — способ моментов. При расчете по этому способу

предполагается, что погрешности размеров и положения составляющих элементов (хг) и размера замыкадошего элемента (X) подчиняются закону нормального распреде­

ления. Исходными являются количественные характе­ ристики закона распределения размеров и положения составляющих элементов.

Учитывая, что зависимость (106) в общем случае может быть достаточно сложной, разложим выражение для замы­

где 0 — остаточный член.

Математическое ожидание и дисперсия случайной ве­

Эти формулы дают точное выражение для р (У) и D (X),

если рассматриваемая функция линейна.

Переходя к средним квадратическим отклонениям и пре­ небрегая членами более высокого порядка малости по срав­ нению со средним квадратическим отклонением, получим:

( 111)

61

Формула (111) получена для размеров л:t составляю­

щих элементов при условии, что они являются независи­ мыми случайными величинами.

Если значения размеров х-ъ являются зависимыми слу­ чайными величинами, то из (1 1 1 ) имеем:

где K Bj — корреляционный момент величин х и х}\

Знак v < / в формуле (112) обозначает, что суммиро­

вание распространяется на все возможные попарные соче­ тания случайных величин {хъ х2, х 3, ..., х п).

При расчете элементов, соединяемых под углом, необ­ ходимо уравнение погрешностей составить по проекции размерной цепи на некоторые оси, связанные с замыкаю­ щим размером определенной тригонометрической зависи­ мостью.

Из формул (111) и (112) следует, что размер замыкаю­ щего элемента изменяется в результате суммарного влия­ ния погрешностей всех размеров составляющих элементов. При этом влияние размера определяется величиной част­ ной производной, дисперсией и корреляционным моментом.

Расчет по методу моментов сводится к определению среднего значения (математического ожидания), определя­ ющего размеры замыкающего элемента

р. (X) = ф (хь х2, х 3, х п) (113)

и его среднего квадратического отклонения ах-

Метод моментов дает абсолютно точные результаты только для линейных систем при соответствии априорного нормального распределения апостериорному.

Для нелинейных систем, даже при нормальном законе распределения размеров составляющих элементов, закон распределения величины замыкающего элемента отличается от нормального, а математическое ожидание величины замыкающего размера не равно его проектному значению. Поэтому при анализе нелинейных систем методом моментов возникают значительные ошибки.

62

14.РАСЧЕТ ТОЧНОСТИ ПО РАЗМЕРНЫМ ЦЕПЯМ

Впрактике проектирования и строительства из сборных

конструкций при расчетах точности возведения зданий или сооружений возникают две задачи:

прямая — по известным допускам на размеры и поло­ жение строительных конструкций, разбивочных осей или горизонтов необходимо определить допуск на размер за­ мыкающего звена;

обратная — по известному допуску на размер замыкаю­ щего звена необходимо определить допуск на размеры, положение отдельных конструкций и разбивочных осей или горизонтов размерной цепи.

Общее условие этих задач — обеспечение полной со­ бираемости сборных конструкций без каких-либо подго­ нок элементов по месту.

На основе вероятностно-статистического метода слу­ чайные ошибки составляющих звеньев размерной цепи ха­ рактеризуются стандартом а (х). Тогда стандарт замыкаю­

щего звена для линейной цепи в соответствии с (106) бу­

В случае равенства составляющих в формулах (114) и (115) предельная ошибка (допуск) замыкающего звена

По формуле (116) решается прямая задача, когда из­ вестны ошибки составляющих звеньев а (х;), g (х;) и надо

определить ошибку замыкающего звена.

Исходным параметром для решения обратной задачи является допуск на замыкающее звено А (X). Решение об­

ратной задачи не является однозначным и зависит от до­

63

Отсюда формула (116) принимает следующий вид:

Для заданного значения А (X) из формулы (118) можно

найти стандарт для составляющего звена:

и с увеличением числа звеньев предельное значение ее достигает следующей величины:

Ошибка замыкающего размера цепи включает в себя ошибки размеров составляющих конструкций, установки конструкций, геодезических построений и ошибки, вызы­ ваемые деформационными воздействиями (неравномерность осадки фундаментов, температура) на положение состав­ ляющих конструкций [2 2 ].

Пусть случайные и систематические ошибки геодези­ ческих построений, изготовления сборных конструкций, монтажных работ и деформационных воздействий соответ­

При решении прямой задачи теоретически или экспери­ ментально определяются все составляющие из (123) и (124), по которым находятся а (X) и £ (X); по формуле (1 2 0 )

находится допуск на составляющее звено размерной цепи,

64

Очевидно следующее:

Формула (131) является основной при решении прямых и обратных задач по расчету точности замыкающего звена размерной цепи или ее составляющих звеньев.

В коррелированной размерной цепи случайные ошибки составляющих звеньев находятся в корреляционной связи, Тогда стандарт замыкающего звена будет равен:

Приведенный в этой формуле коэффициент корреляции г (Xi, Xj) определяют статистическими исследованиями или

на основании теоретических соображений. В последнем случае предполагается, что случайные ошибки двух звень­ ев Xi и Xj включают в себя ряд общих элементарных оши­

бок, например:

Если роль каждой элементарной ошибки примерно оди­ накова, то

Например, если k = 1, l — 1 н g — 1 , to r (xit x3) = 0,5.

Случайные ошибки звеньев могут быть коррелированы с точки зрения выполнения всех операций, связанных с возведением здания или сооружения. Тогда формула (131) приобретает следующий вид:

66