Файл: Сытник, В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в строительстве.pdf

той же случайной величины оценивают в следующем по­ рядке [2].

1. Определяют вероятнейшее значение измеряемой ве личины, для которого влияние случайных ошибок мини­ мально. За такое наиболее надежное значение принимается среднее арифметическое из результатов равноточных изме­ рений:

л— число измерений.

2.По формуле Бесселя вычисляют среднюю квадрати

ческую ошибку измерения:

где v — отклонение от арифметической средины х (v-L —

-Xi — х ) .

3.Устанавливают надежность величины т, т. е. сред

нюю квадратическую ошибку ошибки, которая определя­ ется по формуле

/2 (/г — 1)

4.Контролем вычисления служит равенство Ы = 0.

Если при вычислении ^ имеет место ошибка округления

13

В табл. 1 приведена обработка ряда равноточных из­ мерений с использованием приведенных основных формул. Измерялась длина разбивочной оси стальной рулеткой

п = 5.

При совместной обработке результатов неравноточных из­ мерений различная их точность учитывается путем введения вспомогательных чисел — весов. Вес — это величина, обратно пропорциональная квадрату средней квадрати­

ческой ошибки: Р — (с — произвольная постоянная).

При этом различают среднюю квадратическую ошибку ре­ зультата измерения, вес которого равен единице (ц). Сред­ няя квадратическая ошибка единицы веса служит для срав­ нения точности рядов неравноточных измерений.

14

При обработке результатов неравноточных измерений вначале определяют вероятнейшее значение измеренной величины. Эта задача решается с помощью формулы для вычисления общей арифметической середины (весовое сред­ нее) [2]:

где х — приближенное значение измеренной величины;

е— уклонения (ег = xt — х)\

Р— веса.

Величина хв называется также весовым средним.

Вторая задача обработки результатов неравноточных измерений состоит в оценке их точности, т. е. в отыскании средней квадратической ошибки единицы веса и ее ошибки по формулам:

У2 (1 -1 )

атакже средней квадратической ошибки общей арифметц ческой середины (весового среднего) М по формуле

Ошибку определения М находят по формуле (6).

Вычисления контролируют, пользуясь первым обобщен­ ным свойством остаточных отклонений [Ру] = 0.

15

г л а в а п. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

5.ПОНЯТИЕ О ВЕРОЯТНОСТИ

Воснове теории вероятностей — математической науки,

изучающей закономерности случайных явлений, лежит по­ нятие вероятности события. Событием называют качествен­

ный или количественный результат опыта, проводимого при вполне определенных условиях. Классическим приме­ ром события могут служить измерения каких-либо случай­ ных величин. Известно, что при повторных измерениях од­ ной и той же величины (длины, угла, отметки и т. д.), вы­ полняемых с одинаковой тщательностью, одним и тем же инструментом, прибором, мы никогда не получим одина­ ковых результатов.

Вероятность Р (А) случайного события А можно опре­

делить как долю тех исходов, в результате которых это со­ бытие осуществляется:

где N — общее число исходов рассматриваемого опыта; N(A) — число тех исходов, которые приводят к на­

ступлению события А.

В результате многочисленных наблюдений была вы­ явлена замечательная закономерность, позволяющая при­ дать глубокий смысл понятию вероятности. Предположим, что рассматриваемый опыт может быть воспроизведен мно­ гократно, так что осуществляется серия одинаковых и не­ зависимых друг от друга испытаний, в каждом из которых по воле случая происходит или не происходит интересую­ щее нас событие А. Пусть /г обозначает число всех опытов

вотдельной серии испытаний, а п {А) — число тех опытов,

вкоторых осуществляется событие А. Отношение

называется частотой события А в данной серии испытаний.

Оказывается, что в различных сериях испытаний существу­ ющие частоты при больших значениях п практически совпа­

дают, группируясь около некоторого постоянного значе­ ния Р (Л), называемого вероятностью события А:

( 1 9 )

18

бытия А характеризует долю тех случаев в большой серии

опытов, которые приводят к наступлению этого события. Частота появления события и вероятность могут принимать

6. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Одно из основных понятий теории вероятностей — по­ нятие о случайной величине.

Случайной величиной называется та, которая в результа­

те измерения может принять только одно возможное зна­ чение, заранее неизвестное и зависящее от случайных при­ чин. Эти причины не могут быть учтены до проведения из­ мерений.

Например, число попаданий п ошибок в заданный интер­

вал при трех измерениях — величина случайная. Здесь случайная величина /г может принимать отдельные, изоли­ рованные значения, которые можно заранее перечислить:

проекта здания или сооружения в натуру, есть случайная величина. Действительно, длина линии зависит не только от геодезического метода измерений и прибора, но и от мно­ гих других причин: внешние условия при измерениях, опыт исполнителя и т. д. Возможные значения этой величи­ ны принадлежат некоторому промежутку (а, Ь).

Из сказанного очевидно, что следует различать слу­ чайные величины, принимающие лишь отдельные изолиро­ ванные значения, и случайные величины, возможные зна­ чения которых, сплошь заполняют некоторый промежуток.

Прерывной (дискретной) величиной называют случайную

величину, принимающую отдельные, изолированные воз­ можные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений прерывной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной величиной называют случайную величину,

которая может принимать все значения из некоторого ко­ нечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число

19