Файл: Сытник, В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в строительстве.pdf

конов распределения. Он наиболее часто встречается на практике. Главная его особенность состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при типичных условиях.

8. ЭМПИРИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ ОШИБОК

Исследования в строительной геодезии, как и в других науках, начинаются со сбора результатов измерений, вы­ полненных на разных строительных объектах в различные периоды. Это могут быть производственные или эмпириче­ ские результаты измерений, которые необходимо система­ тизировать для дальнейших исследований. В этом случае особенно целесообразны графические методы. Вначале ре­ зультаты геодезических измерений стремятся представить при помощи наименьшего числа специальных показателей. Эти известные величины позволяют простыми способами сравнивать полученные данные с имеющимися результата­ ми измерений.

Изучение результатов геодезических измерений облег­ чается их систематизацией. Часто измеренное значение це­ лесообразно представлять в зависимости от частоты его по­ явления при измерениях. При этом результаты измерений можно представить в виде отдельных точек на линейно по­ деленной цифровой прямой и затем судить о плотности то­ чек. Такое распределение называют одномерным.

Более наглядна ступенчатая диаграмма, на которой гра­ фически представляют величину измеренного значения x it

распределенную по классам в зависимости от частоты ее появления со. Наивысший столбец такой ступенчатой диа­ граммы показывает измеренное значение, появляющееся чаще всего, и соответствует вертикальным прямым в обла­ сти с наивысшей плотностью точек в диаграммах первого типа. Для построения ступенчатой диаграммы группируют отдельные значения в g классов с шириной класса d. Число

классов должно быть примерно равно корню квадратному из общего числа измеренных значений, но не меньше 5 и не больше 20. Если выбрать слишком мало классов, можно потерять характерную деталь распределения частоты; при слишком подробном делении на классы общая картина мо­ жет затушеваться небольшими случайными отклонениями. Верхняя граница класса должна быть меньше, чем нижняя граница прилегающего соседнего класса. Когда результа­

25

ты геодезических измерений упорядочивают таким способом, при стабильных условиях измерений чаще всего получают симметричное распределение с одним максимумом частоты.

Из формы распределения частот можно получить пред­ ставление о появляющейся случайной ошибке. При боль­ ших значениях случайной ошибки получаются широкие распределения, при малых ее значениях кривая распреде­ ления становится узкой и острой. Однако никаких сведений о возможной систематической ошибке в этом случае не по­ лучают, так как она не изменяет вид распределения.

Зато неоднородные систематические ошибки часто опре­ деляются своеобразным путем. Например, если при одно­ временном измерении одной и той же величины несколькими способами в результатах некоторых измерений появляется одинаковая по величине и знаку систематическая ошибка, то распределения частот получаются с двумя или несколь­ кими максимумами. Второй максимум может служить «пле­ чом» главного максимума; он как бы образует ложное распределение, когда систематический сдвиг не очень велик.

При одновременном измерении случайной величины не­ сколькими геодезическими методами или приборами могут возникнуть асимметричные распределения с левоили пра­ восторонним максимумом частот, если результаты измерений различными методами или приборами сопровождаются си­ стематическими ошибками одинакового знака,-но различной величины.

Асимметричные распределения могут также возникать, если линейное деление оси абсцисс выполнено неправильно с точки зрения методологии. Подобные кажущиеся асим­ метричными "распределения могут переходить в симметрич­ ные, если ссь свойства делить логарифмически.

При изучении случайной величины прежде всего необ­ ходимо установить закон ее распределения. Закон распреде­ ления отыскивают по эмпирическим количественным харак­ теристикам, основными из которых является среднеариф­ метическое значение и среднее квадратическое отклонение.

Законы распределения исследуются по большому чис­ лу результатов измерения. Для упрощения вычислений все результаты измерения по данной совокупности целесообраз­ но сгруппировать в небольшое число интервалов. Как пра­ вило, длина интервала — постоянная величина.

Если имеется N измерений, которые необходимо раз­ бить на g интервалов, то длина интервала выразится сле­

дующей формулой:

26

а число измерений в этом интервале означает число изме­ рений, удовлетворяющих неравенству

При таком методе группировки середина первого ин­ тервала совпадает с наименьшим (хш1|1) значением измере­ ний, а середина второго — с наибольшим (ятах).

Группировка результатов измерения произвольна, так как число ее интервалов может быть выбрано по желанию.

Для графического изображения результатов измерения число интервалов следует выбирать так, чтобы характерные черты распределения были подчеркнуты, а случайные коле­ бания сглажены. Для наглядности графика распределения результатов измерений (полигона) следует предварительно

определить среднее значение результатов измерения х и дис­

персию их т 2, после чего построить полигон, совместив се­

редину центрального интервала с х и приняв ширину интер­

валов равной 0,5 Aj. В большинстве случаев рекомендуется число интервалов принимать равным 8—12.

Основными характеристиками распределения, которые необходимо оценить при обработке результатов измерения, являются математическое ожидание р и дисперсия а2. Для оценки этих характеристик по эмпирическим данным сле­ дует определить их статистики, обладающие состоятельно­ стью, несмещенностью, эффективностью и достаточностью. Среди оценок математического ожидания всеми перечислен-

27

ными свойствами обладает среднее арифметическое, которое для N измерений определяется по формуле:

Ni = 1

алучшей оценкой для дисперсии является эмпирическая дисперсия, определяемая формулой

При исследовании законов распределения, когда резуль­ таты измерений сгруппированы, формулы (35) — (37) можно привести к следующему виду:

N

где k — порядковый номер интервала, принятого в

качестве начала отсчета;

jji = i — g — расстояние от текущего интервала до начала

отсчета;

пг — число измерений, попавших в i-й интервал.

Формула (40) может быть несколько упрощена, если учесть, что результаты измерения группируются только

28

при достаточно большом числе измерений (N > 50), по­ этому погрешность от замены (N — 1) на N будет незначи­

тельна, а вычисления упрощены:

Сопоставление эмпирического и теоретического распре­ делений является довольно трудной задачей. На основании близости двух кривых нельзя сделать выводы об удачном представлении эмпирического распределения. Поскольку параметры теоретического распределения заранее извест­ ны, то приходится принимать, что они совпадают с соответ­ ствующими эмпирическими величинами. Между тем послед­ ние являются случайными величинами, обладающими рас­ сеянием, которое тем больше, чем меньше число измере­ ний N. Теоретическая кривая распределения, хорошо сов­

падающая с эмпирической кривой для ряда измерений, мо­ жет отличаться от эмпирических кривых, построенных по другим вариационным рядам измерений той же случайной величины. Однако с определенной вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что данная случайная вели­ чина подчиняется тому закону распределения, с которым согласуются результаты данных измерений.

Имеется несколько способов (критериев согласия) оцен­ ки близости двух распределений [14, 27].

Критерий Колмогорова позволяет судить о близости те­ оретической функции распределения F (х) и эмпирической

Если функции F (х) и F (х) непрерывны, а число изме­ рений N достаточно велико, то вероятность того, что откло­

нение D Y N превысит значение К, определяется по формуле

протабулирована в работах [27, 29].

29