Файл: Сытник, В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в строительстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 100
Скачиваний: 0
возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Понятие случайной величины играет важную роль в те ории вероятностей. Если классическая теория вероятно- - стей оперировала по преимуществу с событиями, то совре менная теория вероятностей в основном оперирует со слу чайными величинами: где, возможно, она переходит от «схе мы событий» к «схеме случайных величин». Вторая схема по сравнению с первой представляет собой гораздо более гибкий и универсальный аппарат для решения задач, от
носящихся к случайным явлениям.
На первый взгляд может показаться, что для задания прерывной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни воз можных значений, а вероятности их — различные. Поэто му для задания прерывной случайной величины недостаточ но перечислить все возможные ее значения, нужно указать их вероятности.
Законом распределения прерывной случайной величины
называют соотношение, устанавливающее связь между воз можными значениями случайной величины х* и соответ ствующими им вероятностями P t. Это соотношение можно
задавать таблично, аналитически (в виде формулы) и гра фически.
Простейшая форма закона распределения прерывной случайной величины — таблица:
X |
*1 |
*2 |
хп |
Pi |
Pi |
P-i |
Pn |
Здесь |
вероятности |
Р х удовлетворяют условию |
П |
J\P t — |
|||
= 1, так как события хг образуют полную группу. |
£= 1 |
||
|
|||
Для наглядности закон распределения прерывной слу чайной величины можно представить и графически: в пря
моугольной системе |
координат построить точки (xj, |
P t), |
||
а затем соединить |
их |
отрезками |
прямых. Полученную |
|
фигуру называют многоугольником распределения. |
|
|||
Кривой распределения называют линию, изображающую |
||||
плотности вероятностей |
(плотности |
распределения) |
слу |
|
чайной величины X . |
|
|
|
|
20
При математической обработке результатов геодезиче ских измерений в строительстве часто закон распределения случайной величины неизвестен, поэтому приходится огра ничиваться меньшими сведениями. В большинстве случаев выгоднее пользоваться числами, описывающими случай ную величину суммарно — числовыми характеристиками случайной величины.
К важным числовым характеристикам относятся мате матическое ожидание и дисперсия случайной величины.
Математическим ожиданием прерывной случайной ве
личины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности, которая определяется из вы ражения
|
П |
V- р. |
|
|
V |
|
|
|
£1 |
Х1 |
|
М [ Х ) ъ Х |
= — |
------- . |
(2D |
|
£ |
Pi |
|
п |
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
Но так как У P t = 1, то |
|
|
|
г= 1 |
|
|
|
М { Х ) т а Х -= £ |
Р х х и |
(22) |
|
|
i —1 |
|
|
где x t — значения случайной величины; |
|
||
Рь — соответствующие |
этим |
значениям |
вероятности; |
п — число значений. |
|
|
|
Вероятностный смысл равенства М (X) та X таков: ма
тематическое ожидание приближенно равно среднему ариф метическому измеренных значений случайной величины. Причем это равенство тем точнее, чем больше число изме рений.
Дисперсией (рассеянием) прерывной случайной величины
называют математическое, ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D {X) = ц IX — р (X)]2. |
(23) |
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения, кроме дисперсии,
служит среднее квадратическое отклонение, определяемое
как
а(Х) — У D(X). |
(24) |
Отмеченные числовые характеристики случайной ве личины являются основными. Они будут использованы в дальнейшем, хотя будут представлены в более конкретном виде.
Среднее квадратическое отклонение как непрерывной, так и прерывной случайных величин является постоянным.
7. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Среди теоретических распределений вероятностей слу чайных величин наиболее распространено нормальное рас пределение, которое описывается дифференциальной функ цией
|
1 |
(а— цг)д |
|
|
2а3 |
(25) |
|
/ м - |
в |
||
а У 2л |
|
|
Из (25) видно, что нормальное распределение определяет ся двумя параметрами: р и а. Максимум дифференциальной
1
функции распределения равен ~ j/= .
График дифференциальной функции нормального рас пределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса.
Положение кривой в системе прямоугольных координат и ее форма полностью определяются значениями обоих па
раметров р и о. Максимум кривой лежит в точке х = |
р, |
||||
точки перегиба ее находятся при х\ |
==р— о и х 2 = |
р + |
а |
||
(рис. 1). |
Кривая достигает значения у = 0 |
при х = |
± |
оо. |
|
Однако значениями ординаты при х |
= р ± |
За практически |
|||
можно пренебречь. |
|
|
|
|
|
Влияние параметров р и о на форму нормальной кривой |
|||||
состоит |
в следующем. Изменение |
величины параметра |
|||
р (математического ожидания) не изменяет формы кривой, а лишь приводит к ее сдвигу вдоль оси х: вправо при возра стании р и влево при убывании р. Иначе обстоит дело, когда изменяется параметр а (среднее квадратическое отклонение).
Максимум |
дифференциальной функции нормального рас-. |
|
пределения |
. |
1 |
равен |
этого следует, что с увеличением |
|
а максимальная ордината нормальной кривой убывает, а
сама-кривая становится более пологой, т. е. сжимается к оси х; при уменьшении о нормальная кривая становится
более островершинной и растягивается в положительном направлении оси у.
22
При любых значениях параметров р и а площадь, ограни ченная нормальной кривой и осью х, всегда равна единице.
На рис. 2 видно, как изменение параметра а сказывает ся на форме кривой. При р = 0 и а = 1 функцию плотности распределения называют нормированной.
Если случайная величина X распределена по нормаль
ному закону, то вероятность того, что она примет значение, принадлежащее интервалу (а, (3), равна [14]:
Р ( а < Х < р ) = Ф р ] - Ф р ) , |
(26) |
где Ф — функция Лапласа.
Рис. 2. Кривые нормального рас пределения при р = 0 и различных значениях а
Рис. 1. Кривая нормального рас пределения (кривая Гаусса)
В геодезической и строительной практике часто требует ся найти вероятность того, что отклонение нормально рас пределенной случайной величины X по абсолютной величи
не меньше заданного положительного числа 6, т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства | X — р | < 6.
Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством
— 6 < X — р < 6
или
|
р — 6 < Х < |
р + 6. |
|
Пользуясь формулой (26), получим: |
|
||
Р ( \ Х - - р | < 0 ) = ^ | |
|
|
|
= Ф ~(Р + 5) — |
-б)—р |
= Ф Л - ф |
(27) |
23
Принимая во внимание равенство
(функция Лапласа — нечетная), окончательно получим
Р ( | Х - р | < б ) = 2 Ф ^ ) . |
(28) |
В частности, при р = 0 будем иметь: |
|
P(IXI<8) = 20fj). |
(29) |
Если две случайные величины нормально распределены |
|
и [х = 0, то вероятность принять значение, |
находящееся |
в интервале (—б, б), больше для той величины, у которой меньше значение среднего квадратического отклонения а.
Рассмотрим следующий пример. Длина колонны I, как
случайная величина, распределена по нормальному зако ну. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение длины соответственно равны 12 000 мм и 10 мм.
Найдем вероятность того, что отклонение действительной длины колонны от ее проектного значения по абсолютной величине будет меньше трех. Для этого воспользуемся фор
мулой (29). По условию б = |
3, |
р. = |
12 000 мм, а = |
10 мм. |
||
Следовательно, |
Р ( | /— 12 000 | |
< 3) |
= 2Ф (-^) = |
2Ф (0,3). |
||
По табл. 2 |
приложений |
[2] |
находим: Ф (0,3) |
= |
0,1179, |
|
а искомая вероятность Р ( | / — 12 000 | < |
3) = |
0,2358. |
||||
Если принять б в качестве предельной ошибки (допуска), |
||||||
т. е. б = |
ta, то формула (29) примет следующий вид: |
|||||
|
Р (|Х — р | < |
at) = 2 |
Ф (/). |
|
(30) |
|
Так, |
при |
t — 3 Р |
( | X — |
[д. | < |
Зет) = |
2Ф (3) = |
=2-0,49865 = 0,9973, т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенной сред ней квадратической ошибки, равна 0,9973. Таким образом, лишь 0,27% ошибок могут превзойти предел Зо, что яв ляется маловероятным событием. Этот случай в практике называется «правилом трех сигм».
Нормальный закон распределения имеет очень большое значение в теории математической обработки результатов измерений и занимает особое положение среди других за
24