Файл: Сытник, В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в строительстве.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 102

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

На наш взгляд, для практического применения целе­

сообразнее табулировать величины ур = —

и у =

У п

ч У v

(для средней квадратической ошибки) или

у2 =

Ввиду асимметричности распределения выражения для доверительных интервалов дисперсии отличаются от вы­ ражений для доверительных интервалов среднего зна­ чения и границы доверительных интервалов также несим­ метричны.

Двусторонний доверительный интервал для о2 с дове­ рительной вероятностью Р определяется по формуле

— /?г2< 02< — т 2.

(56)

т!

у!

 

Верхняя граница

одностороннего доверительного

ин­

тервала для дисперсии с доверительной вероятностью Р име­

ет такой вид:

 

 

a2 < - L m 2.

(57)

Соответственно

для

средней

квадратической

ошибки

имеем следующие

выражения

доверительных интервалов:

 

т < a <

т\

(58)

 

Уд

 

 

V2

 

 

 

< W <

т -

(59)

 

 

 

У

 

 

Рассмотрим пример

оценки

точности результатов кон­

трольных измерений длин разбивочных осей колонн. Пусть

v =

п — 1 = 25;

т2 — ± 127,24 мм\ Р = 0,95. По форму­

лам

(56) — (59)

определим соответственно двусторонний

и односторонний доверительные интервалы при у2 = 1,626

и у! = 0,525:

174,24

_ 174,24

331,8 > о2 > 107,2

------- < о 2 <

-------- ;

1,626

 

0,525

 

или 18,2 мм >

сг>

10,3 мм

 

о 2

274^24 = 298,3

или а< С.\7,Змм.

 

0,584

 

38


10. НАИБОЛЕЕ МОЩНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

Для обеспечения требований СНиП, ГОСТ, инструкций, указаний и т. д. важно не только выявить действительную точность, но и определить влияние производственных и внешних факторов на появление дополнительных погрешно­ стей. Эта задача может быть успешно решена на основе применения специальных вероятностно-статистических кри­ териев.

Анализ точности измерений только путем сопойавления

эмпирических предельных ошибок А с установленными до­ пусками не дает никакой информации о степени влияния производственных и внешних факторов. Последнее являет­ ся важным условием для решения проблемы точности гео­ дезического обеспечения в строительстве и, в частности, для установления наиболее оптимальных и дифференциро­ ванных допусков на выполнение геодезических измерений.

Для выявления влияния таких факторов выдвигают нулевую (основную) 0Остатистическую гипотезу. Наряду с выдвинутой гипотезой 0О рассматривают конкурирующую (альтернативную) гипотезу 0 Х, которая противоречит нуле­

вой. В итоге проверки гипотезы 0Омогут быть допущены ошибки двух родов: ошибка первого рода, когда отвергнута правильная гипотеза, или ошибка второго рода, когда принимается неправильная гипотеза.

Для проверки гипотезы 0О используют статистические критерии. Совокупность значений критерия, при которых гипотеза 0 Оотвергается, составляет критическую область.

Мощностью критерия называют вероятность попадания кри­ терия в критическую область при условии, что справедлива гипотеза 0Х, т. е. нулевая гипотеза отвергается, если верна

конкурирующая.

При выборе критической области ее целесообразно стро­ ить так, чтобы мощность критерия была максимальной при определенном уровне значимости выборки и ее фиксирован­ ном объеме. Если вероятность ошибки первого рода (при­ нятие неправильной гипотезы) равна р, то мощность кри­ терия равна 1 — р. Пусть мощность 1 — Р возрастает, при этом уменьшается вероятность р совершить ошибку второго рода. Таким образом, чем больше мощность, тем меньше вероятность ошибки второго рода.

Рассмотрим некоторые статистические критерии.

При математической обработке результатов измерений в строительной геодезии часто возникает необходимость

39



сравнения дисперсий, если требуется сравнить точность ме­ тодов геодезических измерений, инструментов, точность строительно-монтажных работ и т. д.

Пусть имеются две независимые выборочные совокуп­ ности:

x lt Л-2» Л-з, .. »

(60)

Ух» У2» УЗ» *■*» Уп»

 

средние значения которых равны соответственно х, у. На основании этих совокупностей получим оценки m l, ml

дисперсий:

П

для которых число степеней свободы равно соответственно v* = пх 1 ; v y = пу — 1 .

Требуется по выборочным дисперсиям тх и т у, при за­ данном уровне значимости q, проверить нулевую гипотезу

о том, что генеральные дисперсии рассматриваемых сово­ купностей равны между собой 0 О: р (ml) = р (ml).

Эта гипотеза проверяется с помощью критерия Фишера F [14]. Критерий F, называемый также дисперсионным от­ ношением, представляет собой отношение оценок m l и пц

дисперсии о'2, полученных из независимых выборочных со­ вокупностей:

Причем m l > ml, т. е. в числителе всегда должна сто­

ять большая дисперсия.

Для дисперсионного отношения F при разном числе сте­ пеней свободы vx и v y построены таблицы значений Fq (кри­

тические точки), которые могут быть превзойдены соответ­ ственно с вероятностью 0,05; 0,01; 0,025; 0,005; 0,001.

Если эмпирическое значение критерия F при данных vx и Vy будет меньше соответствующего табличного зна­

40

чения критерия Fq = ю% при 1 0 %-ном уровне значимости,

то такое F2 может считаться случайным, а расхождение меж­ ду оценками m l и т ъи — несущественным, т. е. нулевая

гипотеза не отвергается. Если же значение F будет находить­ ся между соответствующими F 10% и F2%, то оно считается существенным при 1 0 %-ном уровне значимости, но еще не

будет существенным при 2%-ном уровне. Наконец, если эмпирическое значение F будет больше табличного F2%,

то оно рассматривается как существенное и нулевая диспер­ сия отвергается.

При случайности расхождения между оценками m l и ml можно считать подтвержденной нулевую гипотезу

о том, что выборочные совокупности принадлежат одной и той же генеральной совокупности. Если же расхождение между оценками существенно, то рассматриваемая нуле­ вая гипотеза должна быть отвергнута, т. е. точность мето­ дов или приборов различна, что вызвано влиянием тех или иных факторов.

Однако найденное значение критерия должно быть оце­

нено.

Для определения

возможных значений критерия F

можно

воспользоваться доверительными интервалами (см.

раздел 9 настоящей главы).

 

Двусторонний

доверительный

интервал для отношения

ol/al при доверительной

вероятности (1 — ^определяет­

ся неравенством

 

 

 

 

т-

1

at.

mf.

 

 

 

 

(63)

Если имеет смысл использовать односторонние довери­ тельные интервалы при той же вероятности (1 — Р), то вер­

хний предел

 

 

 

т

К -

%/)-

(64)

т-у

 

 

 

а нижний предел

 

 

 

т-г

 

 

(65)

< — ■

рр (Ух >'Vy)

 

 

Если критерий F показывает,

что дисперсии

m l и

ml различаются существенно, то по отношению ко всем

остальным дисперсиям совокупности вывод о существен­

41


ности различия может быть неверным. Здесь мы сталкиваем­

ся с необходимостью использования

при

сравнении

полной информации о всех заданных дисперсиях.

Пусть генеральные совокупности хи

х 2, ...,

хе распре­

делены нормально. Из этих совокупностей извлечены -вы­ борки различных объемов пи пг........ п„ и по ним найдены выборочные дисперсии m], m l, •••, trig. Требуется по вы­

борочным дисперсиям ml

(при заданном уровне значимо­

сти q) проверить нулевую гипотезу Н0: а2 (Хх) =

о2 (Х2) =

= ... = а2 (X g), т. е. установить, существенно

или

несу­

щественно различаются

выборочные дисперсии.

Эту

гипо­

тезу о равенстве дисперсий называют также гипотезой об однородности дисперсий.

Обозначим среднюю взвешенную арифметическую дис­

персий /я2, тогда

 

 

g

vi mi

 

2

 

т2 = - —---------.

(6 6 )

g

 

V

v .

 

/=

l

 

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы об од­ нородности дисперсий используется критерий Бартлета

[24]:

В = — .

 

 

(67)

 

С

 

 

 

При этом

 

 

 

 

V = 2,303 2

]g m2

2 Vj lg mj ;

(68)

i= 1

 

i= 1

 

 

1

&

i

 

(69)

 

 

C = 1 +

 

g

 

3 t e - i)

/= i

 

 

 

 

2 > i

 

 

 

i=

1

 

где v£ — число степеней свободы в выборке; g — число выборок в совокупности:

/п2 — выборочная дисперсия; т 2— общая средневзвешенная дисперсия для всей

совокупности измерений.

42