Файл: Сытник, В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в строительстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 102
Скачиваний: 0
На наш взгляд, для практического применения целе
сообразнее табулировать величины ур = — |
и у = |
У п |
ч У v |
(для средней квадратической ошибки) или |
у2 = |
Ввиду асимметричности распределения выражения для доверительных интервалов дисперсии отличаются от вы ражений для доверительных интервалов среднего зна чения и границы доверительных интервалов также несим метричны.
Двусторонний доверительный интервал для о2 с дове рительной вероятностью Р определяется по формуле
— /?г2< 02< — т 2. |
(56) |
|
т! |
у! |
|
Верхняя граница |
одностороннего доверительного |
ин |
тервала для дисперсии с доверительной вероятностью Р име
ет такой вид:
|
|
a2 < - L m 2. |
(57) |
||
Соответственно |
для |
средней |
квадратической |
ошибки |
|
имеем следующие |
выражения |
доверительных интервалов: |
|||
|
— т < a < |
— т\ |
(58) |
||
|
Уд |
|
|
V2 |
|
|
|
< W < |
— т - |
(59) |
|
|
|
|
У |
|
|
Рассмотрим пример |
оценки |
точности результатов кон |
трольных измерений длин разбивочных осей колонн. Пусть
v = |
п — 1 = 25; |
т2 — ± 127,24 мм\ Р = 0,95. По форму |
лам |
(56) — (59) |
определим соответственно двусторонний |
и односторонний доверительные интервалы при у2 = 1,626
и у! = 0,525:
174,24 |
_ 174,24 |
331,8 > о2 > 107,2 |
|
------- < о 2 < |
-------- ; |
||
1,626 |
|
0,525 |
|
или 18,2 мм > |
сг> |
10,3 мм |
|
о 2 |
274^24 = 298,3 |
или а< С.\7,Змм. |
|
|
0,584 |
|
• |
38
10. НАИБОЛЕЕ МОЩНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
Для обеспечения требований СНиП, ГОСТ, инструкций, указаний и т. д. важно не только выявить действительную точность, но и определить влияние производственных и внешних факторов на появление дополнительных погрешно стей. Эта задача может быть успешно решена на основе применения специальных вероятностно-статистических кри териев.
Анализ точности измерений только путем сопойавления
эмпирических предельных ошибок А с установленными до пусками не дает никакой информации о степени влияния производственных и внешних факторов. Последнее являет ся важным условием для решения проблемы точности гео дезического обеспечения в строительстве и, в частности, для установления наиболее оптимальных и дифференциро ванных допусков на выполнение геодезических измерений.
Для выявления влияния таких факторов выдвигают нулевую (основную) 0Остатистическую гипотезу. Наряду с выдвинутой гипотезой 0О рассматривают конкурирующую (альтернативную) гипотезу 0 Х, которая противоречит нуле
вой. В итоге проверки гипотезы 0Омогут быть допущены ошибки двух родов: ошибка первого рода, когда отвергнута правильная гипотеза, или ошибка второго рода, когда принимается неправильная гипотеза.
Для проверки гипотезы 0О используют статистические критерии. Совокупность значений критерия, при которых гипотеза 0 Оотвергается, составляет критическую область.
Мощностью критерия называют вероятность попадания кри терия в критическую область при условии, что справедлива гипотеза 0Х, т. е. нулевая гипотеза отвергается, если верна
конкурирующая.
При выборе критической области ее целесообразно стро ить так, чтобы мощность критерия была максимальной при определенном уровне значимости выборки и ее фиксирован ном объеме. Если вероятность ошибки первого рода (при нятие неправильной гипотезы) равна р, то мощность кри терия равна 1 — р. Пусть мощность 1 — Р возрастает, при этом уменьшается вероятность р совершить ошибку второго рода. Таким образом, чем больше мощность, тем меньше вероятность ошибки второго рода.
Рассмотрим некоторые статистические критерии.
При математической обработке результатов измерений в строительной геодезии часто возникает необходимость
39
сравнения дисперсий, если требуется сравнить точность ме тодов геодезических измерений, инструментов, точность строительно-монтажных работ и т. д.
Пусть имеются две независимые выборочные совокуп ности:
x lt Л-2» Л-з, .. » |
(60) |
|
Ух» У2» УЗ» *■*» Уп» |
||
|
средние значения которых равны соответственно х, у. На основании этих совокупностей получим оценки m l, ml
дисперсий:
П
для которых число степеней свободы равно соответственно v* = пх — 1 ; v y = пу — 1 .
Требуется по выборочным дисперсиям тх и т у, при за данном уровне значимости q, проверить нулевую гипотезу
о том, что генеральные дисперсии рассматриваемых сово купностей равны между собой 0 О: р (ml) = р (ml).
Эта гипотеза проверяется с помощью критерия Фишера F [14]. Критерий F, называемый также дисперсионным от ношением, представляет собой отношение оценок m l и пц
дисперсии о'2, полученных из независимых выборочных со вокупностей:
Причем m l > ml, т. е. в числителе всегда должна сто
ять большая дисперсия.
Для дисперсионного отношения F при разном числе сте пеней свободы vx и v y построены таблицы значений Fq (кри
тические точки), которые могут быть превзойдены соответ ственно с вероятностью 0,05; 0,01; 0,025; 0,005; 0,001.
Если эмпирическое значение критерия F при данных vx и Vy будет меньше соответствующего табличного зна
40
чения критерия Fq = ю% при 1 0 %-ном уровне значимости,
то такое F2 может считаться случайным, а расхождение меж ду оценками m l и т ъи — несущественным, т. е. нулевая
гипотеза не отвергается. Если же значение F будет находить ся между соответствующими F 10% и F2%, то оно считается существенным при 1 0 %-ном уровне значимости, но еще не
будет существенным при 2%-ном уровне. Наконец, если эмпирическое значение F будет больше табличного F2%,
то оно рассматривается как существенное и нулевая диспер сия отвергается.
При случайности расхождения между оценками m l и ml можно считать подтвержденной нулевую гипотезу
о том, что выборочные совокупности принадлежат одной и той же генеральной совокупности. Если же расхождение между оценками существенно, то рассматриваемая нуле вая гипотеза должна быть отвергнута, т. е. точность мето дов или приборов различна, что вызвано влиянием тех или иных факторов.
Однако найденное значение критерия должно быть оце
нено. |
Для определения |
возможных значений критерия F |
||
можно |
воспользоваться доверительными интервалами (см. |
|||
раздел 9 настоящей главы). |
|
|||
Двусторонний |
доверительный |
интервал для отношения |
||
ol/al при доверительной |
вероятности (1 — ^определяет |
|||
ся неравенством |
|
|
|
|
|
т- |
1 |
at. |
mf. |
|
|
|
|
(63) |
Если имеет смысл использовать односторонние довери тельные интервалы при той же вероятности (1 — Р), то вер
хний предел |
|
|
|
|
т |
К - |
%/)- |
(64) |
|
т-у |
||||
|
|
|
||
а нижний предел |
|
|
|
|
т-г |
|
|
(65) |
|
< — ■ |
рр (Ух >'Vy) |
|||
|
|
|||
Если критерий F показывает, |
что дисперсии |
m l и |
ml различаются существенно, то по отношению ко всем
остальным дисперсиям совокупности вывод о существен
41
ности различия может быть неверным. Здесь мы сталкиваем
ся с необходимостью использования |
при |
сравнении |
полной информации о всех заданных дисперсиях. |
||
Пусть генеральные совокупности хи |
х 2, ..., |
хе распре |
делены нормально. Из этих совокупностей извлечены -вы борки различных объемов пи пг........ п„ и по ним найдены выборочные дисперсии m], m l, •••, trig. Требуется по вы
борочным дисперсиям ml |
(при заданном уровне значимо |
||
сти q) проверить нулевую гипотезу Н0: а2 (Хх) = |
о2 (Х2) = |
||
= ... = а2 (X g), т. е. установить, существенно |
или |
несу |
|
щественно различаются |
выборочные дисперсии. |
Эту |
гипо |
тезу о равенстве дисперсий называют также гипотезой об однородности дисперсий.
Обозначим среднюю взвешенную арифметическую дис
персий /я2, тогда |
|
|
g |
vi mi |
|
2 |
|
|
т2 = - —---------. |
(6 6 ) |
|
g |
|
|
V |
v . |
|
/= |
l |
|
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы об од нородности дисперсий используется критерий Бартлета
[24]:
В = — . |
|
|
(67) |
|
|
С |
|
|
|
При этом |
|
|
|
|
V = 2,303 2 |
]g m2 — |
2 Vj lg mj ; |
(68) |
|
i= 1 |
|
i= 1 |
|
|
1 |
& |
i |
|
(69) |
|
|
|||
C = 1 + |
|
g |
|
|
3 t e - i) |
/= i |
|
|
|
|
|
2 > i |
|
|
|
|
i= |
1 |
|
где v£ — число степеней свободы в выборке; g — число выборок в совокупности:
/п2 — выборочная дисперсия; т 2— общая средневзвешенная дисперсия для всей
совокупности измерений.
42