Файл: Стрижевский, И. В. Хемотроника.pdf

формула позволяет получить две важные характеристики процесса диффузии.

1. Время tp, необходимое для выравнивания концен­

трации вещества в объеме с линейными размерами Z, пропорционально Z2 и обратно пропорционально коэф­

фициенту диффузии, т. е. tp = a .

2. Среднее расстояние Zc, на которое успеет за время t продиффундировать вещество, первоначально сконцентри­ рованное в небольшом объеме, пропорционально корню квадратному из произведения коэффициента диффузии

тіа время, т. е. l0=z\laDl. Это означает, что \jDt опреде­ ляет порядок расстояния, на которое успевает отойти от своего первоначального положения за время t любая взвешенная в жидкости частица, совершающая броунов­ ское движение.

Метод подобия оказывается исключительно плодотвор­ ным при изучении движения вязкой жидкости. При ста­ ционарном обтекании выпуклого тела потоком вязкой жидкости в уравнение движения входят следующие коэффициентьт: плотность жидкости р (в г/см5), вязкость і] (в г/см -сек), скорость потока V (в см/сек) и линейный раз­ мер тела Z(в с.л). Из этих величин можно составить един­

числом Рейнольдса. Число Рейнольдса является крите­ рием, устанавливающим подобие двух течений. Течения называются подобными, если распределение скоростей в одном из них можно получить из распределения ско­ ростей в другом простым изменением масштаба измерения координат и скоростей. Течения подобны, если их числа Рейнольдса одинаковы. Заметим, что это относится к ста­ ционарному течению несжимаемой жидкости в отсутствие поля тяжести при скоростях, много меньших скорости звука в жидкости.

При учете влияния па движение поля тяжести появля­ ется новый коэффициент в уравнении движения g — ускорение силы тяжести. В этом случае можно составитъ

еще один безразмерный параметр Fr = -У^2, называемый:

числом Фруда. Течения в поле тяжести подобны, если одинаковы числа Рейнольдса и Фруда..

27

При анализе подобия двух нестационарных движений, естественно, должен появиться безразмерный параметр, содержащий характерное время нестационарного движе­ ния т, в течение которого движение заметно изменяется.

Этот безразмерный параметр, или число Струхала: Sh = -j^.

Метод подобия позволяет делать некоторые выводы о характере движения. Рассмотрим для примера опре­ деление силы сопротивления, которое испытывает выпук­ лое тело при стационарном движении с малой скоростью. Сила сопротивления F имеет размерность г• см/сек2, поэтому из параметров р, V, I можно составить единственную ком­

Подставив это выражение в уравнение для силы сопротив­ ления, получим

F = const т]l V

Константа, входящая в выражение, зависит от формы тела. Например, для шара она равна 6щ и при l= R (радиус шара) мы имеем формулу Стокса

F = 6тП)ЯК

Другим интересным примером может служить тече­ ние вязкой жидкости в тонкой цилиндрической трубке. Ясно, что в этом случае скорость течения жидкости везде направлена вдоль оси трубки. Ее величина изменяется лишь в перпендикулярном к оси направлении, иными сло­ вами, скорость является функцией радиуса. Теоретиче­ ский расчет показывает, что скорость зависит от квадрата радиуса, и на стенке цилиндра, естественно, обращается в нуль, т. е. зависит от величины R 2 — г2, где R —

28

Др — разность давлений, поддерживаемых па концах трубки; I —

длина трубки

Константа, входящая в выражение для скорости, мо­ жет быть найдена при строгом расчете или эксперимен­ тально. Она оказывается равной Ѵ4, откуда получаем в окончательном виде

ДР (Д2 -Г2 )

1 4r)Z

Полученное движение называется пуазейлевским. Используя найденную формулу, легко получить расход жидкости в трубке Q, т. е. массу жидкости, протекающей через поперечное сечение за 1 сек, так называемую фор­ мулу Пуазейля

„ _ ирДрЛ‘1

ѵ8цІ

Граничные условия для вязкой жидкости состоят в требовании обращения в нуль скорости жидкости на неподвижной твердой поверхности, точнее обращения в нуль нормальной и касательной компоненты скорости. Это требование является следствием существования мо­ лекулярных сил сцепления между поверхностью твердого тела и жидкостью, приводящих к тому, что слой жидко­ сти, непосредственно прилегающий к твердой стенке, полностью задерживается, «прилипая» к ней.

При больших числах Рейнольдса жидкость можно рас­ сматривать как идеальную, так как ее вязкость при этом очень мала. Идеальная жидкость не имеет вязкости, и при обтекании ею твердого тела скорость жидкости на по­ верхности тела не будет равна нулю. В действительности же на поверхности твердого тела всегда К =0, поэтому при больших числах Рейнольдса жидкость может рассмат­ риваться как идеальная почти всюду, за исключением тонкого поверхностного слоя (слоя Прандтля), в кото­ ром и происходит падение скорости до нуля.

В пограничном слое, несмотря на большое значение числа Рейнольдса, нельзя пренебречь членами, учиты­ вающими вязкость в уравнениях движения, так как они содержат градиенты скорости, которые в пограничном слое очень велики из-за малой толщины этого слоя. Между течением жидкости в пограничном слое и течением в ос­ новном потоке существует непрерывный переход, так что границу слоя Прандтля нельзя считать резкой. В слу­

29

чае обтекания плоской полубесконечпой пластинки, лежа­ щей в плоскости xz, плоскопараллельиым потоком жид­ кости толщина пограничного слоя 8 па расстоянии х от

края пластинки по порядку величины равна

Поверхностные явления

До сих пор мы пренебрегали эффектами, связанными с су­ ществованием поверхностей раздела между телами, и рас­ сматривали только процессы, протекающие в объеме. Явления вблизи поверхности раздела называются поверх­ ностными, или явлениями капиллярности*.

Для тел больших размеров число молекул, расположен­ ных в поверхностном слое, много меньше числа молекул в основном объеме. Поэтому поверхностные явления для таких тел обычно несущественны, тогда как для тел малых размеров они могут играть главную роль.

Условия, в которых находятся молекулы поверхност­ ного слоя и молекулы объема, весьма различны. Послед­ ние со всех сторон окружены точно такими же молеку­ лами, в то время как молекулы поверхностного слоя имеют одинаковых соседей только с одной внутренней стороны. Поэтому различна и средняя энергия, приходящаяся на каждую из тех и других молекул. Разность между энер­ гией всех молекул, находящихся в поверхностном слое, и той энергией, которой обладали бы эти же молекулы, находясь в объеме, называется поверхностной энергией, которая равна работе, затрачиваемой в процессе обрати­ мого изменения поверхности раздела двух тел.

При изменении площади поверхности на бесконечно малую величину ds затрачиваемая работа dA пропорцио­ нальна ds, т. е. dA = ads, и величина и, определяемая этим соотношением, — основная характеристика поверх­ ности раздела; она называется коэффициентом поверх­ ностного натяжения и зависит от природы соприкасаю­ щихся тел и их состояния.

*В действительности соприкасающиеся тела разделены узким переходным слоем, который из-за его малой толщины можно рассматривать как геомет­ рическую поверхность.

30

Любая физическая система стремится прийти в состоя­ ние с наименьшей энергией. Поверхностная энергия тоже стремится принять минимальное значение, и поэтому коэф­ фициент а всегда положителен. Если бы он был меньше нуля, то из формулы сІА = ads и принципа минимума энер­ гии следовало бы, что поверхность раздела стремится к не­ ограниченному возрастанию, т. е. две среды неуклонно стремятся к перемешиванию и ие могут существовать раз­ дельно. Кроме того, из положительности коэффициента а следует, что поверхность раздела двух тел всегда стремится принять значение, наименьшее при данном объеме тел. Именно поэтому пузырьки газа или капельки жидкости стремятся принять сферическую форму.

Интересно, что формула для dA совершенно аналогична

Давление — сила, действующая на единицу поверхности, окружающей данный объем; коэффициент а — сила, действующая на единицу длины контура, ограничивающего выделенный участок поверхности раздела, и направлен­ ная касательно к поверхности по внутренней нормали к контуру. Это можно представить себе на примере прово­ лочной рамки с подвижным ребром длиной I, на которую натянута пленка жидкости. Если передвинуть подвижное ребро на некоторое расстояние Ах, слой жидкости на рамке растянется и станет тоньше, а его полная поверх­ ность (с обеих сторон) увеличится на As—21Ах, При этом часть молекул жидкого слоя перейдет из объема на поверх­ ность, на что будет затрачена работа АА = aAS =. all Ах. При возвращении подвижного ребра в исходное положе­ ние молекулы, оказавшиеся на поверхности, вернутся обратно и внутренние силы сцепления совершат точно такую же работу. Стремление поверхности уменьшаться макроскопически проявится в том, что на подвижное ребро будет действовать сила поверхностного натяжения F, на­ правленная по касательной к поверхности жидкости и по нормали к контуру, ограничивающему эту поверхность.

циеит поверхностного натяжения а = — _ В этой формуле

коэффициент выражается через силу поверхностного натяжения.

31

Наличие поверхностного натяжения приводит к тому, что если поверхность соприкосновения двух тел искрив­ лена, то при термодинамическом равновесии давление в этих телах будет неодинаковым. Эта разность давле­ ния, называемая поверхностным давлением, определя­ ется формулой Лапласа

При этом давление всегда больше в том теле, поверх­ ность которого выпукла. В частном случае сферы, когда

R 1= Я2 = R, формула Лапласа; рг— р.г= 2 а . Для плоской

поверхности раздела R t = R 2= со; в этом случае р г — /?2= 0 , т. е. силы поверхностного натяжения не создают допол­ нительного давления.

Рассмотрим еще один важный пример применения фор­ мулы Лапласа. Поверхность тонкого слоя лшдкости, помещенной между двумя плоскими параллельными пла­ стинками, принимает форму цилиндра с некоторым радиусом R. Так как в этом случае R X= R 2, а Л2=оэ, то по формуле Лапласа

Мы видим, что дополнительное давление под цилиндри­ ческой поверхностью с радиусом R вдвое меньше, чем под сферической поверхностью с тем же радиусом.

Рассмотрим теперь капиллярные явления, возникаю­ щие при соприкосновении трех сред: жидкости, газа и твердого тела. Такой случай реализуется, например, на краю поверхности жидкости, находящейся в сосуде. Обозначим твердую среду (стенку сосуда), I, жидкую — I I и газообразную — I I I (рис. 1). Угол между стенкой и поверхностью жидкости, называемый краевым, обозна­ чим 0. Точка А находится на линии соприкосновения трех сред. Как показано стрелками, именно к этой линии при­ ложены все три силы поверхностного натяжения. Линей­ ная плотность каждой из этих сил (отношение силы к еди­ нице длины линии соприкосновения) равна соответствую­

32

не установится равновесное значение краевого угла, и чем лучше смачивание, тем меньше краевой угол. Для пары стекло вода можно практически считать 0^ 0 .

Когда а13 < а12, то cos 0 < 0 и угол 0 тупой. В этом случае жидкость стремится сократить поверхность сопри­ косновения с твердым телом, и мениск имеет выпуклую форму. Капля такой иесмачивающей жидкости (например, ртуть на поверхности стекла) стягивается и принимает вид сплюснутого шара.

В тонких трубках (капиллярах), погруженных в жид­ кость, кривизна поверхности жидкости весьма зна­ чительна. Под действием возникающего при этом поверх­ ностного давления уровень жидкости в капилляре под­ нимается или опускается. Мениск в узкой трубке радиу­ сом г можно приближенно считать частью сферы радиуса

формуле Лапласа, отличается от давления соприкасаю­ щегося с ней воздуха на величину

Эта разность давления уравновешивается весом столба жидкости рgh. Отсюда можно определить высоту h подня­

и ее называют капиллярной постоянной данного вещества. Капиллярная постоянная является характерным пара­ метром, позволяющим определить, когда, можно прене­ бречь полем тяжести при исследовании формы поверх­ ности. Если капиллярная постоянная велика по сравне­ нию с размерами тела, силами тяжести можно пренебречь. Существенную роль во всех поверхностных процес­ сах играет адсорбция — скопление посторонних веществ на поверхности жидких и твердых тел, именуемых в этом случае адсорбентами. Способность поверхности тела ад­ сорбировать газы и растворенные вещества непосред­ ственно связана с величиной поверхностного натяжения. Ве­ щество концентрируется на поверхности адсорбента только

34