Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

полюсов для любых (конечных)

чисел

d.

и

<=* '

. Поскольку

функция

-

решение,

принадлежащее

пространству

Нз,Г,*. Со) , то

она иожет

быть

записана

в виде

( 5 . 2 ) . Приме­

няя теперь

теорему Коши о вычетах мы можем написать, что

оЧ»’о>°

JL ’-HO*

v L r , i ) ~ - v k . -

- C o°

ЩЛг.

ct-L‘O°

d tt'A

j(6 .2)

T S 7

] e- f V f « i L V J i4 j Г с

J

oi -u’ А

Ы■-( А

+ Ухѵ-

2Г теі

е ~ ' ^ ft С & Ц ? )

f

Рассмотрим, например, первый интеграл, распространенный

по

интервалу ( d '+t’ А , <*'-і А ) . Он является функцией.

(

V I ±/А ):

= J е-

.

d і і А

Д - *

. Дня этого оценим соответствующую норму

(при

фиксированном

*Ь

)•

МА

,

f

Ц П - II J t f M f C V J l

(7 .2 )

Ц «Mut

Правая чаоть неравенства

(7 ,2 )

оценивается интегралом

^"U'A

jL^t'А-

%

СОші I 1DJ Li)№ ( d i

«s cvM( J II

Hi)

где

C0 K *t

не

зависит от

А

,

Рассмотрим теперь семейство

интегралов

6

•< Г сЛ

1

II

( 8 . 2 )

f f t i A

Поскольку

функция

Ъ ч ( ѣ )

регулярна

в полуполосе

«*-

к

R e

2

* и

f

■ таи кан

И Ь ^ С Ѵ ^ Ѵ ] /

во всяком случае

квадратично оуммируема на

каждом луче

^

с

б ,

го интегралы ( 8 . 2 ) сходятся

6Ч.0 <>»

\

И Ъ~'С^)

Н

* cd^yfr

( 9 . 2 )

О* СА

’

г д е п о с т о я н н у ю

Ся н і -і

можно в ы б р а т ь

н е з а в и с я щ е й от

б " .

П р о и н т е г р и р о в а в н е р а в е н с т в о ( 9 . 2 ) п о о т р е з к у

j ы ? - Л

ОІ. <

3 < ОI f

^

п о Л.У 1-И Л/

d Чс-'А

.

^

^

|і ъ$С~ч ()г .I )f d

(1 0 .2 )

С^Чи'А

в-сСЛ

'В этом месте мы воспользовались неотрицательностью

числа 9

-

показателя

пространства

И s,

f, <*

С ^ )

, Это огра­

ничение является существенным (по крайней мере по временному

переменному і

для получения

асимптотического разложения.

Разумеется,

можно ввести нормы произвольного вещественного

порядка по пространственным переменным х

и неотрицательного

порядка

по

переменному

t

и в таких

нормах доказать

и однознач­

ным переменным при бесконечно гладких правых частях^даже если

1

оно априорно является распределением над пространством финитных

гладких функций. Поэтому, чтобы не

усложнять изложение

мы не

стали вводить новых пространств., а

просто предположили,

что у?о.

Здесь t=-6-t.C'T)

( <5

фиксировано)

, С - S-t С'Т-1

f

(«Г фиксировано). По теореме Фубини в двойном интеграле

(1 0 .2 )

можно поменять

порядок

интегрирования

6 -tL'OO

оі'ч.с’Л

j

f

II

t

r ' o

6*4.t fir

d-t

iM

откуда следует,

что

по

некоторой

яодпоследовательнвсти

И*

внутренний

интеграл

^ -t t К

j

II D '! ( 2) f c & u

- г о

оіч'А

\ е- і і ъ ч О ) f - О Ы * ------

> О

Перейдем теперь

к вычислению вычетов в правой части равен­

ства ( 6 . 2 ) .

Вычислим произвольное слагаемое:

- і'Ь

с е л е

Очевидно,

для этого достаточно

вычислить вычет-оператор

в произвольной

точке

£ = -5 *, :

Поскольку

'Ь’Ч 2 .) -

мероморфная операторнозначная

функция,

то в

окрестности своего

полюса

Н -

2 t

кратности t k

она

разла­

гается в сходящийся ряд Лорана

Р - ,

( г - ъ cj

-f в-і

Ro + .

( I I .2)

Здесь

операторы

R._xK

p, 1

R0

суть

ограниченные

опера­

торы

ft. t i c , - . Р.

н S - Ш (

X

) -

н ‘( Ѵ

В..

( X ) - * Н ‘(Х)

суть конечномерные

операторы.

Вычет ыероморфной

операторнозначной функции е ^ ']) '(ъ)

в полюсе кратности

t ic

есть

оператор

, Сц-І

- Ъ і

ы

е

У ' ( è ) ( 2 - - * - )