Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

2п<.£

tic-

t w

- ^

Дг

—

Г

М

’ с

t >

е

D

j

-л.' fr

^

( c . - i )

J.

t

• /

^ ~ гѴ

Т а к и м о б р а з о м , с т о ч н о с т ь ю д о о п е р а т о р о в , к р а т н ы х т о ж д е ­

с т в е н н о м у

ІС\

Ü - t

. . г - kt

, :

ßt

€■

=Z- е- -t

2 ‘

äfc

1

>

j

В а ж н о е

з а м е ч а н и е :

В ы ч е т о п е р а т о р а

} у ' ( 9 )

в

лю бой т о ч к е з а в и с и т лиш ь

о т о п е р а т о р о в

г л а в н о й 1

З а й м е м с я т е п е р ь в ы ч и с л е н и е * к о э ф ф и ц и е н т о в в

а с и м п т о т и ч е с к о м |

р а з л о ж е н и и . Э ти к о э ф ф и ц и е н т ы п о л у ч а ю т с я к а к о б р а з ы к о н е ч н о м е р н ы х

С^И. )

Отсюда,

в частности следует, что любая функция вида

R

~ГЫ)

/

является решениен следующей системы уравнений

т

следовательно, по

известной теореме

эллиптической

теори^эта

функция бесконечно-дифференцируема. Поскольку оператор

аналитически зависит от параметра,

то его производная 't/ Ы

снова ограниченный

операторѣ в любом пространстве

HW

^Напомним, что коэффициенты оператора

Г)( *і

Ф т - ? )

а, следовательно,

и в&ех его производных (по

? )

бесконечно­

гладкие.

Поэтому функция -

D/ (?ü.) R-*. f

бесконечногладкая

и, снова

применяя теорему

о гладкости, мы приходим к выводу, 'что функ-

ция

J-

бесконечногладкая. Продолжая этот

процесс,

вы на

г к -ом шаге

получим, что

все функции

-

, '

- i f

суть

бесконечногладкие

функции. Более того,

эти функции в

I

[

действительности

принадлежат

конечномерному

пространству,

за -

I

і

висящему лишь от

оператора

Ъ • Конкретная

же функция,

стоящі

щая

в разложении

(5 .2 )

определяется, естественно, правой

ча-

I'1

[

I

и [*<+)= Z T

Г

Си^,(х) +

(■ Х/'І)

(1 2 .2 )

к

jz.0

'

»

где

ічМ) =

j <г гіъЧг)$СШ -

±.

R

Поскольку

оператор

является

(правым) обратным

при любом (неособом) с*.' , то

функция

является

решением

уравнения

(bt<±

j - }

причем функция

f по

уолёіию

тѳоремы’ принадлежит

пространств}

H S,*W ( c > -

В силу

непрерывности оператора

/ (апри- і

орная оценка)

функция

■t*^ar,-é)

оценивается следующим об­

разом

1

*

CokW

m

i s - г ч . у . л ' ,

Теорема 2 .2 полностью доказана.

З а м е ч а н и е .

Разложение (1 2 .2 )

является

асимптоти­

ческим разложением решения при

4: -* + оо

. Совершенно

аналогии*

но получается

разложение

решения в

окрестности

^

3.

Регулярность решений.

Здесь

мы установим

гипоэлл

зовать

следующее

О п р е д е л е н и е

2 . 2 .

Оператор

Н s,jr,u

( С )

—*

С О

называется

г и п о э л л и п т и ч е с к и

м,

если

всякое

решение

иС*Л)6- H s ,fr**-

уравнения

Ъ

U =-

£

принадлежит

пространству

И s ' JT,с*.

0 0

сколь

угодно высоким

коль скоро

правая

часть

этого уравнения

< , Д , а

СС) .

Т е о р е м а

3*2.

Пусть

D •

— * Н Х-ч, Г, * Сс .) ~

квазиэллиптический

дифференциальный

оператор

рода

]f

и

пусть

число

ск. -

неособое. Тогда

оператор

D гипоэллиптичен.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При условиях теоремы

опера­

тор

В обратим. Значит, всякое решение написанного

выше

уравне­

ния,

принадлежащее пространству

Н 5 , у ,<*■Сс) может

быть

записа­

но в

виде

где

D ' 1

(<■

) — »

H s . r ,

* (

c

J-

- оператор,

непрерывный

при

любых

^

. Отсюда

следует,

что

если j-e-Hs'. N.j-.л С ° )

»

где

S'* s

»

1 0

и *

Hc-'g’, oi^cj*

Поскольку

число

5/

монет быть

выбрано как

угод­

но большим,

то

последнее

утверждение

и доказывает

теорему*

§ 2 . Кваэиэллитические дифференциальные уравнения о

переменными по

"t

коэффициентами.

В этом параграфе мы изучим кваэиэллиптические дифферен­

циальные уравнения, коэффициенты которых могут

зависеть

от "і .

I .

Теорема конечности. Осповной результат этого пункта —

теорема о нормальной разрешимости уравнения

■

D О ' * /

* + )

ісСхі ±)

-

(13.2)}

в пространствах

типа

Н S, УіЛ

(.С)

или, что

эквивалентно,