Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 100

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

параболический дифференциальный выражением. Типичны]! пример:

П р и м е р 4. В з в е ш е н н о - э л л и п т и ч е с ­

к и е в ы р а ж е н и я (Агмон - Ниренберг). В статье

Агмон и Ниренберг ввели понятие взвешенно-эллиптического диф­ ференциального выражения. Они рассматривали полином"типа (Дм,

•С )"

( 6 -

целое

число) с

постоянными по

"t коэффициентами

А-О,

 

 

 

 

 

 

 

(23.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

где степень de$ А

полинома

 

А/-к.

£*,-£'■£,)

равна

' ( t - ^

так что

в частности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ag

Арч-> cl&fА$—Q

 

 

причем

і4о=

СонМг^ О .

 

 

 

 

 

 

Старшая

часть выражения

(23 .1)

определялась как вумма

мономов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ке-к.

а *■

 

 

 

 

 

 

 

 

Н *

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

форма степени

 

 

(e-ь.)

 

 

•e-,

„

'

 

 

 

 

 

 

 

 

- 40 -

Дифференциальное выражение авторы называют вэвепѳнноэллиптическим, если форма

jf-

* = Z Ае-іс

не обращается в нуль при | $!*■{ ІТІ^Ч^О

.

Это определение эллиптичности укладывается в рамки кваэиэллиптичности. Действительно, подберем число ^ так, чтобы

• Ь

( е - ц ;

+ у к * ; « с

 

 

 

 

для любого 1с

(24,

Из равенства

(24 .1)

следует, что такое число

)(

существует

и равно

1 У і

. Нетрудно проверить, что

условие

кваанэллиптнчностн совпадает о условием взвешенной эллиптич- t

НОСТИ.

Г Д А В А П .

К в а з и э л л и п т и ч е с к и е о п е р а т о р ы в п р о с т р а н с т в а х

н а

'ц и л и н д р е б е з к р а я .

t коэффи­

§ I . Квазиэллиптические операторы с постоянными по

циентами.

 

1 . Теорема об изоморфизме.

 

2 . Асимптотическое представление решения при

f

3. Регулярность решений.

 

§ 2 . Квазиэллиптические уравнения с переменными коэффициентами 1 . Теорема конечности.

2 . Асимптотическое представление решения.

3. Регулярность решений.

4 . Мягкость реализации. § 3. Призеры.

1. Одна лемма теории возмущений.

2 . Параболические операторы (общая теория).

3. Квазиэллиптические уравнения и параболические уравне­ ния (конкретные примеры).

§ I . Квазиэллиптические дифференциальные уравнения с коэффициентами, не зависящими от t ,

В этом параграфе мы изучим уравнение порядка ■

A* i ^ t ) «- -

( 1 . 2 )

на бесконечном цилиндре.

- 42 -

Предполагая, что дифференциальное выражение, стоящее в

 

левой части' уравнения ( I . 2 ) - квазиэллиптично,

мы докажем одно­

этажную разрешимость

этого

уравнения, получим асимптотическое

 

пржшишіение и исследуем дифференциальные свойства решения.

 

I .

Теорема

об

однозначной

разрешимости.

 

 

 

 

Т е о р е м а

1 .2 .

Пусть

DCa’ >.

гг

 

квазиэллипти­

 

 

ческое

дифференциальное выражение рода

% . Тогда уравнение

 

(1 . 2 ) однозначно

разрешимо

в пространствах

и & Н s. jf,<* C&)j

 

 

ѵч

£ с)

для любых вещественных

чисел

s и любых ве­

 

щественных

,

за

исключением некоторого

дискретного

(то-есть’

без предельных точек)

множества

на оси. (Эти

числа мы

в даль­

 

нейшем будем называть

о с о б ы м и

 

) . Более

того для любой

функции

US - Н s , f , «

с)С ' (

06 неособое)

справедлива априорная

 

оценка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II ^lf

S, у,et.

^

07

I f!(s-іч,/[■,<*.

 

 

 

 

 

с постоянной соьрЬ ,

не зависящей от

элементов

пространства

 

Н у,у,о<

С с).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прежде

чем доказывать эту теорему дадим эквивалентную ей

 

формулировку на языке

теории операторов, которым мы и будем

 

пользоваться. Для этого реализуем дифференциальное выражение

 

t>Xl

 

 

как оператор

(мы его

обозначаем той

же

j

буквой)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L»*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

■'

Hs'iftciCcj

—»

ü s - N , f i *

C c )

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

•

- 43 -

i .

Определение 1 .2 .

Будем

говорить,

что оператор к в а з и -

э л л и п т и ч ѳ н

(рода

$

),если

соответствующее

диффе­

ренциальное выражение

кваэиэллиптично.

 

 

Т е о р е м а

112.

Пусть

оператор 3 -квазиэллиптичен.

Тогда для всех неособых <л.

он является изоморфизмом,

то-есть

непрерывно обратимым слева и справа.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим произвольное ве­

щественное число <5Г

и перейден

от оператора

к

унитарно эквивалентному оператору

 

 

Ъ С х Л х Г І -) F ^ f» ,

 

 

 

(2-2)

В новых координатах оператор (2 .2 ) представляет собой семейство операторов, так что из уравнения ( 1 .2 ) мы получим семейство уравнений на многообразии X

ф

£ ( > , £ ) =

(3 .2 )

параметризованиях, прямой

. Будем теперь менять и

параметр ff

. Тогда семейство

уравнений (3 .2 ), окажется пара­

метризованным уже точками комплексной плоскости. Отметим преж­ де всего, что, как следует из условия квазиэллиптичности вы­ ражение

ъ 0*> V о )

эллиптическое (в обычном смысле). Далее, как было отмечено в замечании 2 гл.І члены, содержащие параметр 2 - суть младшие

- 44 -

Смотрите также файлы