Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

П р е д л о ж е н и е

3 .2 .

Пусть

Ъ С х' * '

J •'

s'

*

C c)

H і . М/Гі* £ c j

_

квазиэллиптический оператор.

Построим оператор

3

U f

Іо) = Л f t )

3) +

O - ' W O ä G i o ) '

(18.2)

где

0

-

гладкая функция,

сосредоточенная в интервале

ft £ -t

i»

»

содержащей

точку

-£0

и равна; единице внутри

ратор

(18 .2) непрерывно почти обратим.

Доказательство. Представим оператор

(18.2)

в виде суммы

двух

операторов

Ъ С х ’

( І9 -2)

где

через

Т)о =

'bztr^J

мы обозначи..и

оператор

с фикси

рованными

в точке

"do - коэффициентами,1а

оператор

Д

опреде

ляется из

тождества (1 9 .2 ).

^ ..

Оператор й

Т>

имеет

(гладкие) коэффициенты,

сосредоточен­

ные

на интервале

(

о, А ) •

Следовательно,

как показывает

iffplpr?

мой подсчет, при достаточно малой

(•

(ф!1 !

длине интервала норма

опера­

тора

Д Т>

может быть оценена следующим образом

H A D « ' l l s. w,y « e U t t l l s j

4 C£ l l u | | s U ,

где

О О

- произвольное малое

положительное число, Sf< S*

Отсюда и из

результатов Кона-Ннрѳнбѳрга (б[] следует, что опе­

ратор

Д

представляется в виде

суммы

” Т

: И> s 1Ң-, 6 ѵцfy

т > = Ь

„ +

K t -

t

T

<го-г)

В § I мы установили, что оператор

непрерывно

обратим

слева и справа. В силу открытости множества обратимых операто­

ров, оператор Ъ о -ѵ К £

®акжѳ обратим,

если

норма оператора

( Ъ о + K fi)

'

является

его

непрерывным левым и правым почти обратимым.

П р е д л о ж е н и е

4 .2 .

Пусть

£

;

Hs , i f l0LC c)

— >

Н s-v.tT'*

-

- квазиэллиптический

оператор рода $

с

переменными коэффици-

ентами. Построим оператор

I

1

Ъ(іііо) =о.С-Ь) $ f £4-аШ)Ъ(1ъ),

(21.2)

^W

гладкая

сосредоточенная

на полуинте-

где

[ т

- , содержащемункцияточку -fco

,

и равная

единице

в

вале

«

оо)

Ф

,

интервале

(.

7 + 1 , оо

) . Тогда,

если

производные

коэффициентов допускают оценку;

k

НІ ' ъ ! ? а І # С * ) С Ь * > \ 4 .C « ,

- П

(22.2)

с некоторым положительным числом ?> > Q

ц *t * [^ J- f l . ,

К t £ t S3 -t i , то

Д о к а з а т е л ь с т в о , Обозначим черев Д

сле­

так,

что оператор (21.2) записывается

в виде

Х> ^

t> f*to) +

Д Ь

Оценим норму оператора

& D ,

Пусть для простоты число

$1 *

-

целое. Имеем

и

t u n Ѵ - . Й * - U 1 J t

( Ф Ю - ь а д ) * С

-

Т

11

Ь а д - b t w j u 1‘ ) d - t *

Vi

4

Г е * Г* - Ч І

+

T

(23.2)

Возьмем теперь настолько больное

число

"X

, чтобы

х) Требования (22.2) значительно завышены. Точные условия

на поведение

производных при

*fc —>

ч

О» будут

видны в ходе

доказательства.

«

*

Л Ь V-IS-ІЧ, y,eL

' С І И

5,гг|0і. f

с.£ |[ и [[ ^ 1в(+1<А_

где

о(+ е

ы~ S" /

et

и

—

- любое.

Мы утверждаем,

что

в

этом случае

оператор

Допускает

следующее

представление.

Л е м м а

2 .1 .

Для

любого £,, > о

существует

такая пара

операторов

К и

Т

, что

Л Ь

-

K t

Т

норна

)

И

К

I I S- W | j f i o L

<

( ? £ + £ , )

>

i

»

где

E r О

произвольно

малое число,

а оператор

к

Т* ; Н *-щ.Г»сі

— *

У

■

непрерывен,

причем

_и

<

ы

•*. °1 + .

З а м е ч а н и е .

Аналогичная лемма в теории псевдодиф-і

ференциальных

операторов

в пространствах

И s

доказана Коном |

и Ниренбѳргом

£ € 3

I