Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

ние (ä(arit) и настолько малое число

, чтобы

оператор

1 - a C x ,t )

H s , f t oI - * И £_4 д (Д .г г д ы _

!

имел как угодно малую норму,

а в то

же

время норма

оператора !

• M s . Г, CL

І.і

q . O l ± )

— *

H

s , y )0L

-i

:

I

была бы равна единице. Отсюда следует,

что

если £ }? о как угод

но малое число,

то

*

■

fI

11

* £ t V - h . r , *

<

г

Лемма доказана.

{

к

Итак оператор

представлен

в виде

"Ь * D f - t ö J - r < - г Т (

#

•

Поскольку

оператор

1>с>

непрерывно обратим, то можно ввить

настолько малые

числа £

и

,

что

будет

непрерывно

обратим

:

и оператор Ф+К.а, следовательно,

оператор ^

будет

почти

>

обратим. При этом его левый.и правый

почти

обратный имеет вид

,

0 > о + ) 0 ' 1

П р е д л о ж е н и е

5 .2 . формулируется ■ доказывается

вполне аналогвчво предложения 4 .2 . с ааненой Т на - Т ■

*

іа -

^

•

ѵ ”

О п р е д е л е н и е

3 .2 . Оператор

D

*Н•

s,y,eL Сс )

—*

Н $-*,£,<*С С )

мы будем называть н в а з и а л л и п т н ч ѳ о к и ы

Р о д

а

У , волн он

является

таковым уа

каждом сечении

I s - *1»

цилиндра

С

.

Предложения 3 .2 ,

4 .2

ж 5 .2

позволяют

доказать вашу

ос­

новную теорему конечноотм.

Т е о р е м а

4 .2 .

Пусть

оператор

f c - ' H s . j , *

( О

— г

< **•»

* kl

t

D )

.Л

£

f p

i

* C ,

г д е

L r ] + L

e

>

k.-\ £

^ t - ^ ^

•

м ов

Т о г д а , е с л и

d

- н е о с о б о е , т о о п е р а т о р ( 2 4 . 2 ) ф р е д г о л ь -

и

д л я лю бой

ф у н к ц и и

и &- Н s.,X,<* С с ) с п р а в е д л и в о н е р а в е н -

с т в о

buljs„

t

’

I

11^Ч s.ârjoL é

Н-иИs',fael+,*~) }

г д е п о с т о я н н а я c o w - ' t

н е з а в и с и т о т

и . ?

я + - < 0 < - < о / - и

S '

<

9 -

'

Д о к а з а т е л ь с т в о

п р о в е д е м п о с т а н д а р т н о й с х е м «

я м и - о к р е с т н о с т я м и

1

,

п р и ч е м о к р е с т н о с т ь Lii

п о к р в

в а е т б е с к о н е ч н ы й п о л у ц и л и н д р

X х

( -

0)0 > Т ) > о к р е с т н о с т ь

Ы / /

т а к ж е п о к р ы в а е т б е с к о н е ч н ы й

п о л у ц и л и н д р X х С Т > t о э ) , а

э л е м е н т * '

п о к р ы т и я

U f f - i п о к р ы в аю т к о н е ч н ы й ц и л и н д р

X х

( ~ 1 , Т ) !

т к е мы с к а ж е м н и ж е . П у с т ь т е п е р ь

Н к Ш - р а з б и е н и е е д и н и ц ы ,

п о д ч и н е н н о е п о к р ы т и ю *Ьі . В ы б е р е м

т а к ж е ф у н к ц и и

к = 1 , .. ѵ /б|

Y * Ш :

f

,t С,

ч к W M * ) ) - f t,

Ч к М .

З ап и ш ем

т е п е р ь д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е

в ы р а ж е н и е Ъ С я і і / x>«,

в в и д е

т о р

В ы б е р е м д л я к а ж д о г о к

т о ч к у -£ к £ К-к и п о с т р о и м о п е р а ­

Ь к

, п о л а г а я

І Ѵ

=

а ( і ) Ь

- ( ( і - а М

) ЪС^и-)^

г д е о п е р а т о р

( ' £ * )

и м е е т к о э ф ф и ц и е н т ы , з а ф и к с и р о в а н н ы е в

т о ч к е

і - - Ь

k . f - ЯА-і»т>

'У ('Ь )

а.

скС -Ь )

-

г л а д к а я ф у н к ­

ц и я ,

р а в н а

е д и н и ц е н а

н о с и т е л е

ф у н к ц и и

Ц'к. Ш

и

н ул ю вн е

е г о . Н е т р у д н о у в и д е т ь , ч т о

V b b Y n -

Ч ъ Ъ к У*. .

Т а к и м о б р а з о м , з а д а ч а с в е д е н а к о п е р а т о р а м

1 ) ^

к о т о р ы е , в с и л у

п р е д л о ж е н и й 3 .2 , 4.2 и 5 .2 , н е п р е р ы в н о п о ч т и

о б р а т и м ы . О б о з н а ч и м ч е р е з

R Я

/""/ S'>ч,jfIсЛ

> Н S/(Г*

и х н е п р е р ы в н ы е п о ч т и о бі р а т н ы е . П о л о г и м т е п е р ь

R f =

2 1 Ѵѵ й