Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 109

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

о п е р а т о р я в л я е т с я п о ч т и

о б р а т н ы м . О т м е т и м т о л ь к о , ч т о п р и п р о ­

в е р к е н е о б х о д и м о п о л ь з о в а т ь с я у с л о в и е м ( 2 2 . 2 ) и т е м , ч т о к о м м у - .1

т а т о р д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о

о п е р а т о р а и о п е р а т о р а у м н о ж е н и я н а ф у н к -|

цию

я в л я е т с я

о п е р а т о р о м

н а е д и н и ц у

м е н ь ш е г о

п о р я д к а. .

 

тг

If

 

2 .

 

А с и м п т о т и ч е с к о е

п р е д с т а в л е н и е

р е ш е н и я

п р и

- » і 170 ■

У с т а н о в и м а с и м п т о т и ч е с к о е р а з л о ж е н и е р е ш е н и я в о к р е с т н о с т и

J

-t =

•

А с и м п т о т и к а в о к р е с т н о с т и

і

.

о -

 

п о л у ч а е т с я II

а н а л о г и ч н а .

 

5 . 2 .

П у с т ь ф у н к ц и я

 

 

 

 

 

 

і

 

Т е о р е м а

U С х , £ ) 6 - Н s , r , A С ? ) •

я в л я е т с я р е ш е н и е м к в а з и э л л и п т и ч е с к о г о у р а в н е н и я

 

 

 

 

 

 

 

О

^ >1Н I ^

) и.(рс.і-Ь)•«=

 

Ь)

 

 

 

 

 

 

И п у с т ь

-fCxit') f

 

d й

,

г д е

 

d 1 > ОІ

сП

И

oL±

- н е о с о б ы е . Т о г д а в о к р е с т н о с т и

і - -t ©о ф у н к ц и я

и , С ^ і т У

м ож ет б ы ть п р е д с т а в л е н а в в и д е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QLS-I Y

 

 

 

 

a k . f C x )V - " e K t n

f j -Л - t

 

 

 

 

j

= C

 

 

e

“ P * / t

L ^ e T ) л и , Ы ) 1

- —

З д е с ь

P

e ^

± e e ' ѣ

)

 

 

- п о л и н о м

с т е п е н и

f

ot^ -

e i 1

с

г л а д к и м и

к о э ф ф и ц и е н т а м и .

з а в и с я щ и м и

от

х

,

внеш нее

с у м м и р о в а н и е п р о и з в о д и т с я п о в с е м п о л ю с а м

 

 

 

 

 

 

 

■2-к,- ■■

с к р а т н о с т я м и

I

л ежащ ими в п о л о с е е* «с

(?е 2

<■ оі і

, а о с т а т о ч н ы й ч л е н

-

7 5

-

 

H s , r, d l . C z ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . О т м е т и м , п р е ж д е в с е г о , ч т о

с л е д у я п р и н ц и п у

л о к а л ь н о с т и ( к о т о р ы й бы л

о б о с н о в а н в п . І ) , д л я

;

и с с л е д о в а н и я п о в е д е н и я р е ш е н и я у р а в н е н и я

( 1 3 . 2 ) в о к р е с т н о с т и

• -fc =• + s-o мы м о ж ем п р е д п о л а г а т ь , ч т о о п е р а т о р

 

Т> и м г е т в и д

( 2 1 . 2 )

т о - е с т ь

 

 

 

D

С - і) ^ а (-0 'Ь

Ь С Ь о )

>

( 2 1 .

а Ш

- г л а д к а я ф у н к ц и я , с о с р е д о т о ч е н н а я н а и н т е р в а л е

[ Т , -t

, - t o é

и р а в н а е д и н и ц е в и н т е р в а л е

1 , ч с / > ) • В э т о м с л у ч а е у о п е р а т о р а ( 2 1 . 2 ) с у щ е с т в у е т

л ев ы й п о ч т и о б р а т н ы й , т а к ч т о и м е е т м е с т о р а в е н с т в о

R л $

- I

+ Т,

Г 'іи ч е м о п е р а т о р

 

.

R А ;

Н $,*<,

^ s ' ^

я в л я е т с я н е п р е р ы в н ы м о п е р а т о р о м п р и л ю б о м ( н е о с о б о м ) ы- , а

о п е р а т о р J

<Т? • .Н S-нод )0>.

$ р и

f"j

7

я в л я е т с я н е п р е р ы в н ы м

л ю б о м сА. и

<±!> сК. . Т а к и м о б р азо м ^

мы и м е е м ф о р м а л ь н о е р а в е н с т в о

 

U.C*<ty= ß-л f

f

Т КлІ"+■••

(2G.2)

-?G

 

В п . І

мы у к а з а л и

с т р у к т у р у

о п е р а т о р о в R A и "J” •

ß A =

 

DÖ1 (^1+

 

 

 

 

>

т

=- А Ѣ е Г * 1* Q £ r , t ) ,

г д е

^ - | > 0

н е к о т о р о е

ч и с л о . О б о з а ч и м д л я к р а т н о с т и ч е р е з

н еп р ер ы в н ы й

при л ю б о м

н е о с о б о м

о(. о п е р а т о р

Т о г д а р а з л о н е н и е ( 2 6 . 2 ) м ож н о з а п и с а т ь в в и д е

П у с т ь

т е п е р ь

 

s - ы / у , ы * .

I

и -

-

*

<27.-2)

- f e H

, г д е

Ы 7

> с *

(

о(г - н е ­

о с о б о е ) .

 

 

 

 

( 2 .^

ф у н к ц и я

^

Т о г д а , в с и л у н е п р е р ы в н о с т и о п е р а т о р а

 

т а к ж е п р и н а д л е ж и т п р о с т р а н с т в у

^

 

g

П р и м ен я я а с и м п т о т и ч е с к о е п р е д с т а в л е н и е д л я ф у н к ц и и t ) , , ' 1

Ѣ о ' 1

$ -у п о л у ч е н н о е в § I , п . 2 и п о д с т а в л я я э т о в ы р а ж е н и е

в ч л ен ы р а з л о ж е н и я ( 2 7 . 2 ) , мы п о л у ч и м р а з л о ж е н и е ( 2 5 . 2 ) . ,

 

Т е о р е м а п о л н о с т ь ю д о к а з а н а ,

 

 

 

 

 

 

3 . Р е г у л я р н о с т ь .

П у с т ь

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

6 . 2 .

 

 

 

 

 

- 77 -

-

к в а з и э л л и п т и ч е с к и й д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы й о п е р а т о р , и п у с т ь ч и с л о

а .

- н е о с о б о е . Т о г д а о п е р а т о р D

г и п о э л л и п т и ч е н .

 

Д о к а з а т е л ь с т

в

о .

К а к б ы л о п о к а з а н о в п . І при

у с л о в и я х т е о р е м ы о п е р а т о р

X )

п о ч т и о б р а т и м с л е в а . Э т о о з н а ч а ­

е т , ч т о с у щ е с т в у е т т а к о й о п е р а т о р

 

^

л ' Ч S - r u , f t

<< C G )

— *• Н S, j ' i ос С.С-) ,

______

х п о д л я

л ю б о й ф у н к ц и и

и . в Н

С с )

 

 

ß а D г і =

«■ ~t Т ю f

 

о п е р а т о р о м

п р и лю бом

п р и ч е м о п е р а т о р

R A

я в л я е т с я

н е п р е р ы в н ы м

S

( d - н е о с о б о е ) , а о п е р а т о р

 

 

 

 

 

т •H s , f , d . c c ) - *

 

н

 

 

С С )

^

я в л я е т с я н е п р е р ы в н ы м о п е р а т о р о м д л я лю бы х ч и с е л

S

оі

<г ы * oL +. и ч и с л а ( в і )

ц

+ - н е о с о б ы е ) .

 

р е ш е н и е м

 

П у с т ь т е п е р ь

ф у н к ц и я

(. f.J S /

£ с )

я в л я е т с я

у р а в н е н и я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ъ С рсЛ ,

 

)

 

 

 

^

 

 

п р а в а я ч а с т ь э т о г о у р а в н е н и я

 

&■ И s - м * / / , f t d

,

г д е У _ п р о и з в о л ь н о е н а т у р а л ь н о е ч и с л о .

 

 

 

 

Н ап и ш ем к о н е ч н ы й о т р е з о к р а з л о ж е н и я ( 2 Б . 2 ) д л я р е ш е н и я

 

 

 

- 78

-

 

 

 

 

 

R£-f T R f + . . . + T y R f ,

( 2 8 . 2 )

Мы в и д и м , ч т о в п р а в о й ч а с т и э т о г о р а з л о ж е н и я с т о я т ф у н к ц и и ,

в о в с я к о м с л у ч а е п р и н а д л е ж а щ и е п р о с т р а н с т в у И s+ / / ) £ ( \ ) ,

с л е д о в а т е л ь н о , э т о з а к л ю ч е н и е с п р а в е д л и в о и д л я л е в о й ч а с т и

р а в е н с т в а ( 2 8 . 2 ) , ч т о и д о к а з ы в а е т т е о р е м у .

i t . М я г к о с т ь р е а л и з а ц и и . Мы у ж е у к а з ы в а л и , ч т о к а ж д о е

к в а з и э л л и п т и ч е с к о е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е в ы р а ж е н и е

D 0 = С і t ,

п о р я д к а ѵч. и р о д а ^

м о ж н о р е а л и з о в а т ь к а к о п е р а т о р

D

• И S , Г , А С C j

— * Н

С С )

( 2 9 . 2 )

В о з н и к а е т

в о п р о с ,

н а с к о л ь к о

ж е с т к о долж ны

в ы б и р а т ь с я

ч и с л а S

и а

( ч и с л о

К - п о к а з а т е л ь к в а з и э л л и п т и ч н о с т и - мы

с ч и т а е м ф и к с и р о в а н н ы м ) ?

 

Б у д е м н а з ы в а т ь р е а л и з а ц и ю ( 2 9 . 2 )

О п р е д е л е н и е .

м я г к о й ,

е с л и м н о ж е с т в о п а р ( S , ° 0 £ - /R г

, п р и к о т о р ы х

о п е р а т о р ( 2 9 . 2 ) к в а з и э л л и п т и ч е н , о б р а з у е т о т к р ы т о е м н о ж е с т в о

( в т о п о л о г и и I R * ) .

П р и э т о м м н о ж е с т в о т о ч е к п л о с к о с т и , п р и к о т о р ы х о п е р а т о р

( 2 9 . 2 ) к в а з и э л л и п т и ч е н мы б у д е м н а з ы в а т ь * , о б л а с т ь ю

м я г к о с т и

р е а л и з а ц и и ( 2 9 . 2 )

о б л а с т ь

Т е

о р е м а

7 . 2 .

 

Р е а л и з а ц и я ( 2 9 . 2 ) м я г к а я и

м я г к о с т и

е е е с т ь м н о ж е с т в о т о ч е к

( 5 ) с < > ® г' , г д е S - л ю б о е

( в е щ е с т в е н н о е ч и с л о ) , а

А

- л ю б о е н е о ^ о б о е . Т а к и м

о б р а з о м .

о б л а с т ь м я г к о с т и д л я р е а л и з а ц и и ( 2 9 . 2 ) з а п о л н я е т в сю п л о с к о с т ь

- 79 -

Смотрите также файлы