Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 118

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

жении (1 0 .3 ). Согласно

общей теории (см.вводную главу) при

каждом Фиксированном к.

вектор тЯ<1с | Л

лежит в образе опе^.

ратора

 

 

R _ Гусіі

\

 

 

О

 

R -1

V

аннулятором которого служит операторная матрица

/С м ,) с* о

( * * .) §

О

C M / ' W ) . . . . .

( & , ш ы

!

С^ивательио

функции

J суть решения система урав-

нениРЧ^

 

 

 

Т) (і|с )

da KL (3

 

 

Rj{2rw) Oe u. = Oj j 1 4 , •

- HO -

 

■ • .

( I

I . 3)

Система ( I I . 3) -

эллиптическая система уравнений

с глад­

кими коэффициентами,

значит она гипоэллиптическая,

то-есть

для нее справедлива теорема о гладкости: при бесконечнодиффереі цируемых правых частях все решения этой системы бесконечно­

дифференцируемы;

поэтому

из системы ( I I . 3) рекуррентно следует,

что все

функции

Сіеіі, £

і- бесконечногладкие.

Теорема

2 полностью доказана.

3. Регулярность,

 

Т е о р е м а 3 .3 .

Пусть оператор

квазиэдлиптичен

и ^ неособое.

Тогда он гипоэллиптичен.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При условиях теоремы опера­

тор (О / В.) обратим. Значит

 

и -

С ѵ . ъ г Ч Ь П ,

где

 

 

\ .

 

 

можетгде

быть р„ыбрано, то

U.

& Н S', if" *

(

с )

S f

как

угодно большим, то

. последнееП осколькуутверждениечисло

влечет

гипоэллиптичность оператора

 

С D/Ъ).

§ 3. Задачи с

переменными по

"Ь

коэффициентами.

В этом параграфе мы изучим краевые задачи для квазиэллип-

тических уравнений с коэффициентами, зависящими от времени.

Один из основных результатов этого параграфа - теорема о нормальной разрешимости квазиэллиптических краевых задач.

Доказательство этой теоремы проводится совершенно аналогич­

но соответствующему доказательству из главы П, и мы его опустим сосредоточив свое внимание на вспомогательных средствах, с по­

мощью которых эта теорема монет

быть получена.

 

і- Т е о р е м а

к о н е ч н о с т и .

Введем несколько

определений. Пусть X

- многообразие с

краем

и ( s , # , * )

- тройка вещественных

чисел.

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

4 .3 .

Пусть

( d- ■*, d

, d - , S .S J’ —

пятерка вещественных

чисел,

удовлетворяющих неравенствам

+ é Ы- £ <А-

J

< S * S

(12.3)

 

Тогда диаграмма

коммутативна и коУйозидии

сі

о Сd z~£ d ° d

являются непре­

рывными операторами. Более

того

если-неравенства

(12 .3) строги^

- I I 2 -

то эти композиции суть компактные операторы.

’Д о к а з а т е л ь с т в о . Коммутивность диаграммы

очевидна: тождественный оператор коммутирует с любым оператором. Далее, в силу неравенства

г< s

операторы сужения непрерывны, а поскольку компактные операторы образуют двусторонний идеал в кольце непрерывных операторов, то предложение 4 .3 . установлено.

О п р е д е л е н и е 4 .3 .

Будем называть оператор

 

( D . b ; ) ; H s * * ( e ) - H

f O e H j . * . . « ,

C i z )

 

 

^ VÄ *t *

 

квазиэллиптичѳским, если этот оператор является таковым на

каждом сечении \ . =

1 „ цилиндра

С .

 

Т е о р е м а

4 .3 . Пусть

 

 

(ѵ, В)

квазиэллиптический дифференциальный оператор. Пусть производные коэффициентов экспоненциально убывают с некоторым типом

- ±13 -

JSt

 

 

 

 

 

 

"*1 К

e.

 

 

 

 

где Ki

 

[ f J + l j

<A

£■ i

 

* А .

 

 

 

 

Тогда,

если

ск

- неособое.,

то оператор (13 .3)

Фредголь­

мов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как было уке отмечено в

начале параграфа,

представляет

собой несложную модификацию до­

казательства теоремы конечности главы П

и мы его

опускаем.

2 . Асимптотическое представление решения л ри t

-* *

оо

Т е о р е м а

 

5 .3 .

Пусть функция

H.Cxrt)

 

 

1

является решением квазиэллиптической краевой задачи

 

 

Ъ Cr-ityx,f t ) uCrrtJ=

fCr, i ) /

 

 

 

b/Cvri/bc, $+■) vCrtl)

=■

 

f -

й,...,

*c-

и пусть

fCr.-t) t'U&'f.di Cc)

, lyt-Hs-tf-itf«* СіС),ы,ы

Тогда

в

окрестности

{ - t o o

функция UC.Ti’t )

монет быть

ппедставлена

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tks-f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ü te rtj=

7 1

 

 

 

 

 

 

 

 

+ Ui Of>"t)

 

к *

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

 

т lccf>

( в

~t

)

полином'степени

[»Ц-

ß tlu j

с гладкими коэффициентами, зависящими от х , внешнее суммиро­

вание производится по всем полюсам.

- 114 -

*7 , - - . . г к ,-

скратностями

лежащими в полосе

с Ре і=

, а остаточный член

щС г , t) £ y s , f , c t ± C e J .

До к а з а т е л ь с т в о вполне аналогично доказатель­ ству теоремы 5.2 главы П и проводится с использованием асимпто­

тического представления

(10.3) для уравнения

с постоянными

по

t коэффициентами

и теоремы о регулярности

решения краевой

 

задачи для квазиэллиптического уравнения на многообразии с

краеі

3. Регулярность

 

 

 

Т е о р е м а

6. 3.

Пусть

 

 

( Ь , Ь ] :

Цв'ЬыС. С)

-

//

 

<ГcJ^

f

/ -

^ ^

-

-квазизллиптическиЯ

д и ф ф ер ен ц и ал ь н ы й

оператор

и oL

-

неособое.

Тогда

оператор ( О/В) - гипоэллиптичен.

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

немедленно

следует

из

почти

левой

обратимости оператора ( Ъ/ Ь)

(см.анелогичнуп

теорему

6.2

гл.П).

 

 

 

 

 

«

 

 

 

 

 

 

4.

 

Мягкость реализации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

7 .3

Реализация

(13.3) мягкая

и

область

мягкости ее

есть

множество

точек

( S/

,

 

где

S >

^ 5о = w ay

(І - *

I )

и «і

-

любое

неособое.

 

,

 

.

 

 

і

 

1

-

 

 

 

 

 

 

 

есть

 

Таким образом(область

мягкости для реализации (13.3)

(открытая)

полуплоскость

с

выброшенными прямыми

<я!-

 

•

- II5 -

Смотрите также файлы