Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

Hs-v.f.^CC-) ,

«у (г Н S- в у - І С к ) ,

у с.

1 1 . . ,

ГЧ_

И любых

I

за исключением: некоторого дискретного множества ( особых■точек)

на

вещественной

оси.

Более того

для

любой функции

it

£• Н s. If,<*■

С ?)

( и

-

неособое)

справедливо

следующее неравенство

I

II UllSlf ioL *

coat

( Hbи. ff

^

+ Z

I

где

постоянная

co

не зависит от

функции tt- .

[

На

языке теории

операторов

эте

теорема

звучит следующим

образом,

Реализуем

"пару"

Р>)

как

оператор

Г

( с)

'r Hsi!4J,г,и

t 0) ®

г , * C t t y j (7 .3 )

и.

С С )

Iь

сопоставляющий

каждой функции

"пару",'

функций

( Ь и . Ь и . )

-

С.Т> ц ,

Ъ 4 H j ...,

Ъ * . и ) .

П р е д л о ж е н и е

3 .3 .

Оператор

(7 .3 ) непрерывен,

j’

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует

из предложения 2 .3 . !

Мы будем называть

оператор ( D, & ) -

к

в а з и з

л л и п«

т

и ч

е с к и м, если

таковой

является

пара

( Е>, 5

) .

Т е о р е м а

I .

3.

Пусть

оператор.(

"D., ß> )

т

квазиэллиг

тичен.

Тогда для всех неособих

сЛ. он является

изоморфизмом.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Перейдем

от

оператора ( Ц &

к (унитарно эквивалентному)

оператору

Sfa V r,- *■)•’Ңs,f,0<.£К) —у Hs-лп, і,*(Х)ѳЖ -{.-/ j ^ Qx.h

'(т'з)

записанного в координатах

«*■ -преобразования Фурье. В этих но­

вых координатах оператор

по переменной 2 (двойственной к ~t )

рованный ^тривиальным поднятием"

семейства

( D , В)

( і ) =

CD С*- £>*,-■£} ,

Это позволяет свести

глобальное

изучение

оператора к поточечному.

;

Поскольку

семейство t СТ>/

Ъ) (&) полиномиально

зависит от

і , то

будучи

вначале

определено

лишь на

прямой

, ‘

оно аналитически продолжается на всю комплексную плоскость.

Оператор

(Ѵ ,Ъ )С е )

. - Hs Q l)

.e

,

эллиптичен (в обычном смысле). Значит от Фредгольмов. Следова­

тельно таковым не является и все семейство

СЪ,

Ъ) (з - ). (Напом­

ним, что

поскольку

О

(

то

параметр

£

входит лишь в

младшие члены

оператора

( ъ , ъ )

w

) .

Далее,полагая

ш получаем, что семейство

( b S ) C - i ' f * )

- С р ,

удовлетворяет

на прямой

|j

условию

эллиптичности Аграновича-Вишика. Всилу

открытости этог|

условия

оно выполнено и в некоторомсекторе

[;

+

су I

^

( 8*3)

1

(

- 106 -

і

где

S' .>

О

-

некоторое

число. Поскольку

, тоІ

(Х\^ £

-

-

(FafL§- *У

и,

следовательно,

в

переменных

2-

сектор

(8 .3 )

записывается следующим

образом

j

I

[ а ц - г і { \

< у Т '

(8 -3)

Значит по теореме Аграновича-Вишика

при достаточно SBJ

больших

по модулю і

из

сектора

(8 .3 )

семейства

(7 .3 )

явля-

!

I

ется семейством изоморфизмов и, более того,

для таких^и любой

функции

Ц £- Н s ( % )

справедливо

неравенство

||(j+

Д + И/?)* II

*

Сои-і

C'i-f Д 1 l?l?) ^ r 4 D U II +■

j

В

V

/

(9 .3 )

j

+ І І (<-f л ' + /Ъ ! '^ )

О

,

f

J

где

постоянная

ccioi't

не

зависит

от

функции

к.

и

£ .

Итак, мы находимся в ситуации фредгольмового семейства

операторов с нулевым индексом, аналитически зависящих от па­

раметра

t

. Такое семейство,

как

показано

во

вводной

главе

конечномероморфно обратимо, то-есть существует операторнознач­

ная

функция

Ь

, ь У С ъ )

,

обращающая семейство

С О, Ъ) ( і)

во

всех

регулярных точках.

Предположим теперь,

что

на прямой Re

<*-

нет

полюсов

функции

(Ъ, Ь)~ (■£-)

. Тогда существует обратный

оператор

й У ' ' ѵ з й -

/ е " * * 6 > , ъ Т ' ш d t

Докажем его непрерывность. В силу унитарности

^

-преоб­

разования Фурье для этого достаточно

установить на прямой

R e ъ *

л

неравенство

(9 .3 ) с константой, не

зависящей

от

функции

Ц

и

Ъ

о фиксированной вещественной

частью

.

Для

этого

разобьем прямую

2 .«

на три части

( а -ССС,<і и Ъ)

и

[ л -CQ f Л * i' о»)

.

Сегмент

,J L ri'ß J

компактен и поскольку

постоянная С

является

непрерывной

функцией*)

5

I

то на компакте ее можно выбрать

одной

и той же

для всех

Ъ 6

Гс^-сС\ >

. Теперь остается

только

воспользоваться

результатом статьи

Г 2^

,

где

показано,

что

в

двойном

секторе

(8 .3 )

можно найти настолько

большое чис­

ло

т /

,

что

неравенство

(9 .3 ) будет

выполнено с константой,

не зависящей от

£

.

Таким образом, неравенство

(9 .3 )

уста­

новлено. Теперь,

как уже

отмечалось,

непрерывность

оператора

3 .2 . Асимптотическое представление

решения при -£• -» і о ° .

Как Оыло показано в п.і.квазиэллиптическая краевая задача

Т) к.Сѵ <t )

=

■fCac:‘+),

Ь/и.С г,-і.)

=■

% 'С *гЬ )}

^

однозначно разрешима

в классе

и. & И

s,<T,<* C ^ )

при любых

К * * * ) ^

С С ) . « у

é H S -€ j-{ ,г*ОС)>*

слУчае

при -Ь -+

t

дает

следующая теорема.

Т е о р е м а

2 .3 .

Пусть

&- И

s ,^ o t

( с )

и пуст;

и

h

’ &

где

Тогда решение

и (г, -t)

мокет

быть

представлено в следующем виде

г*-і

■ U ( ? i i ) =

2 1

2 1 t

е~

О с) а

« і

О с Л ) .

(10.3)'

Здесь

Р е ю ( х )

-

гладкие функции,

внешнее

суммирование

производится

по всем полюсам

с кратностями

е , ( .

,

■ -

лежащими в полосе

ы

£< з-«£ <*„ , а остаточный член

Доказательство производится в точности іде

такому яе

плану,

как

и доказательство теоремы 2 .2 . гл.Ц.

Остановимся

только

на

определении и гладкости коэффициентов

OOL. б разло-