Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

в а т ь с я в в и д е f =■

. Мы б у д е м р а с с м а т р и в а т ь д и ф ­

ф е р е н ц и а л ь н ы е в ы р а ж е н и я -*) Ъ

в ц и л и н д р е С и о б о з н а ч а т ь и х

с и м в о л а м и

Э

=

Т > С г'* ’ Т>т,-Яг) .

, т о и ц и л и н Д

П о с к о л ь к у м н о г о о б р а з и е X

и м е е т к р а й Э Х

С =. Х * ' ® ' и м е е т к р а й

< ) Х ^ ^ ^ . М ы е г о о б о з н а ч и м ч е р е з è C

Ф у н к ц и о н а л ь н ы е п р о с т р а н с т в а , с к о т о р ы м и мы б у д е м и м е т ь

д е л о в о б щ ем т е

ж е ,

ч т о

и в г л .

I . В э т о м п у н к т е , мы

лиш ь в в е ­

д е м о б о з н а ч е н и я ^ к а к

и в

г л а в е П .

Ч е р е з

С с )

, ( S , ![,<*)

в е щ е с т в е н н ы е ч и с л а мы о б о з н а ч и м

п р о с т р а н с т в о ф у н к ц и й ^ - п р е

о б р а з о в а н и е Ф у р ь е к о т о р ы х и м е е т

к о н е ч н у ю н о р к у

II fll s,

- j

К( 4-f Д +Ш г)

‘- і і Ы і '

З д е с ь

Д

Рсг-0с

- п о л о ж и т е л ь н ы й о п е р а т о р Л а п л а с а , п о с т р о е н и и ^

с пом ощ ью

н е к о т о р о й

р и м а н о в о й

м е т р и к и ,

к о т о р у ю

с э т о г о м о м е н ­

т а мы с ч и т а е м ф и к с и р о в а н н о й и

j| • || -

- н о р м а н а м н о г С "

о б р а з и и X .

к р а е

ЬС. ц и л и н д р а С

о п р е д е л я е т с я

сл ед ую щ и м

Н о р м а

н а

о б р а з о м

И ^ f

= J Ю -f /+ и / 4 ) li' dt

x ) К а к и в

г л . I , мы ч а с т о б у д е м

( д о п у с к а я н е к о т о р у ю

в о л ь н о с т ь ) н а з ы в а т ь д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е

в ы р а ж е н и я о п е р а т о р а м и

З десь

&

/

-

оператор

Л а п л а са , построенной

с помощью

и н д у ц и р о в а н н о й р и ы а н о в о й м е т р и к и

^

и

II

II

- о э н а -І

ч а е т

Ь .,

- н о р м у н а к р а е

Э Х .

Н s i< f, ^

|0t

(

С J

'

А н а л о г и ч н о

в в о д я т с я

п р о с т р а н с т в а

2 . Г р а н и ч н ы е о п е р а т о р ы .В в е д е м п о н я т и е г р а н и ч н о г о о п е р а т о р а

О п р е д е л е н

и е і . 3 .

Э л е м е н т а р н ы м

г р а

н и ч л ы м

о п е р а т о р о м

J

мы н а з ы в а е м о т о б р а ж е н и е

II

^ •'

Hs, л, л С С)

-г

Н

^

(1.3)

с о п о с т а в л я ю щ е е к а ж д о й ф у н к ц и и ■ fC r r fc )

Г

в ц и л и н д р е С е е с у ж е - і

ние

н а к р а й

э т о г о

ц и л и н д р а ( и л и , к а к

мы

к о р о т к о

,

б у д е м п и с а т ь

£ С т !, ~ 0

) .

І . з

П у с т ь

S ? j

j

П р е д л о ж е н и е

. Т о г д а э л е -1

м ен т ар н ы й гр а н и ч н ы й о п е р а т о р я в л я е т с я н е п р е р ы в н ы м о п е р а т о р о м

f

при

л ю б о м

У

и

сА .

Н ам н уж н о п о к а з а т ь , ч т о

'

Д о к а з а т е л ь с т в о .

;

с у щ е с т в у е т

т а к а я п о с т о я н н а я

co>yt , н е

з а в и с я щ а я

от

ф у н к ц и и f

•

чт о

Г

^

* сѵШ

J /fO At/ Л

*

j ! (^ Д -f І?Г О *-

Ц

K f llJ ?

.

О ч е в и д н о , д л я э т о г о

д о с т а т о ч н о п о к а з а т ь , ч т о с п о с т о я н н о й *

c v 's i - t

, н е з а в и с я щ е й от ф у н к ц и и j -

и £■ в е р н о н е р а в е н ­

с т в о

д л я п о д ы н т е г р а л ь н ы х

в ы р а ж е н и й :

b'fi

К ( и Л + \ ^ е)

^411 .

II

£ СОЬИ

Таким образом доказательство

непрерывности

оператора

(1 .3 ) сведено к установлению

непрерывности элементарного гра­

ничного

оператора на многообразии X с

постоянной,

не завися­

щей от

? . Доказательство

последнего

утверждения

проводится

ратора

(см.,например, Г «]

) .

О п р е д е л е н и е

2 .3 .

О б щ и м

г р а н и ч ­

н ы м

о п е р а т о р о м

п о р я д к а

^ называется

отображение

8

f Ü s ,r tot С С)

- +

СдС)

(2 .3 )

являющееся

композицией

Н

5, гГ, ел С CJ

И

s - g - £ } Г , < * С дС)

И S - ë ,

C .J

П р е д л о ж е н и е

2 . 3 .

П у с т ь

S у

f Т о г д а - o n e - 1

р а т о р Вf н е п р е р ы в е н .

1

Д о к а з а т е л ь с т в о

н е м е д л е н н о с л е д у е т и з о п р е -

г

і

д е л е н и я о п е р а т о р а р

к а к к о м п о з и ц и и и и з н е п р е р ы в н о с т и к о м п о ­

н е н т .

3 . К в а э и э л л и п т и ч е с х и е о п е р а т о р ы в ц и л и н д р е с к р а е м . П у с т ь

Э

- D C r . t . D ^ ^ J

Л и.

( 3 . 3 )

- д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е в ы р а ж е н и е ч е т н о г о п о р я д к а ч Г ц и л и н д р е

С

и п у с т ь

— , Вуі s

) —

^ * 3 ) I

г р а н и ч н ы е д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е о п е р а т о р ы п о р я д к о в

!

|

д л я к а ж д о г о с е ч е н и я

t = t о ц и л и н д р а

С . З а ф и к с и р у е м в п р о ­

и з в о л ь н о й т о ч к е "t

*=■ " t o

к о э ф ф и ц и е н т ы

о п е р а т о р о в

D , ft ) Ä

■

( £>, З а . , . . . , б « ) и с д е л а е м ф о р м а л ь н у ю з а м е н у

О п р е д е л е н и е

3 .3 .

Мы будем говорить, что "пара7

/•

, . . v

Гъ, Ь) = Съ, ß a

[

кав]

а з и э л л и п т и ч н а , е с л и о н а э л л и п т и ч н а в с м ы с л е А г р а н о в и ч а - В и ш и к а

д л я

в с е х в е щ е с т в е н н ы х

с у ,

Мы н е б у д е м п о я с н я т ь э т о о п р е д е л е н и е , э т о бы ло с д е л а н о в

г л а в е I . О с т а н о в и м с я т о л ь к о к р а т к о н а о п р е д е л е н и и с т а р ш е й ( г л а в

н о й ) ч а с т и о п е р а т о р а

( V ), Ъ ) .

П у с т ь

- н е к о т о р о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о . С т ар ш у ю ( г л а в ­

н у ю ) ч а с т ь

( ъ о

,

8 «

Ъ„0

-

мы о п р е д е л и м к а к д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е в ы р а ж е н и я , у д о в л е т в о р я ю щ и е

сл ед ую щ и м ф о р м а л ь н ы м с о о т н о ш е н и я м :

Ъ о

(ЭС'-Ь , Ъ

* , ! • * )

=

^

)

b S o ( r r t , , Ъ Х

, | + j =

4 t )

§ 2 . К р а е в ы е з а д а ч и д л я у р а в н е н и й с п о с т о я н н ы м и п о t

к о э ф ф и ц и е н т а м и .

I . Т е о р е м а об и з о м о р ф и з м е . Р а с с м о т р и м в ц и л и н д р е с л е д у ю ­

щую к р а е в у ю

з а д а ч у

u .C = r< V =

ч

( 5 . 3 )

Ъ С ъ

f y

4 - C t t t ) ,

■ ^

VC * '

£ t r j

U(?C<,

t )

=f r■ C -r ) - t )

( 6 > 3

Т е о р е м а

I . 3 . ,

yr. 4 ,.

**■.

Пу с т ь п а р а

( Ъ , Ю --к в а з и э л л и п т и ч н а .

Т о г д а к р а е в а я з а д а ч а ( 3 . 3 Ѵ' - ( 5 . 3 ) и м е е т я п р и з о м е д и н с т в е н н о е

р е ш е н и е - U f r e b ) { - И s , f , * C ^ ) ю ія лю бы х п р а в ы х ч а с т е й