Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

</+

£

Rt і *

- .

Ита^иы показали,

что решение уравнения (2 .5 )

из класса

Hs,jrf ^ t , ^ -

- существует при любой правой части

$-Lx,iJ&

Hs-Mif.J-t ,

d — для любых вещественных

чисел S

и в том слу­

чае,

если на

прямых

f t i z -

}

нет

полюсов. Бола

того,

поскольку при каждом к

и

пространству собственных и присо­

Этим доказана

конечномерность ядра

оператора (1 .5 ),

а вместе с

тем и теорема

1 .5 .

2 . Теорема

об

изоморфизме.

В

предыдущем пункте

мы

показа­

ли, что оператор

(1

.5 ) при -

■< оі+ с

4 »«эпиморфен

и име­

Рассмотрим

вновь

однородное

уравнение

1 ) 4 =

О .

(3 .5)

В

пространстве

Н s, If,

.ц ,о і-

согласно п .І решение Ч

^

этого уравнения имеет

вид

u £ * i t ) = Ц

T с к . - (х )

*

)

Функции c Itj’ с>)

суть собственные

и присоединенные

функции

оператора

Т)Сх,

. Иначе

говоря, при каждом к

функции

City6 0

СУТЬ решения следующего уравнения

« c * i t ) = ZT

C=t) t Je * e4C Cx; .

V.

Для упрощения обозначений перенумеруем теперь

вектора базиса

!“*

£ (х)

С '

ІІС^-

и обозначим их просто

Сг*

*■

.

( s - д

В этом случае любое решение

uQxti)

уравнения (3 .5 ) за­

пишется как

линейная комбинация (над

£ )

векторов базиса

sf

uc*rtj='zr СсісС*»& .

( 6 S)

I

1

£

i

Введем

понятие граничного оператора (-ер.гл.ШДУ).

j

Пусть С

- произвольная

точка

на цилиндре.

j

О п р е д е л е н и е

1 .5 .

Формальным

э л е м е н т

ар<

н ы м

г р а н и ч н ы м

о п е р а т о р о м ,

і

ассоциирован­

ным с

точкой

ІХ /

х

называется

отображение,

сопоставляю­

щее каждой функции

-fCx' X)

на цилиндре

С

ее

значение

в

,

точке

( х

°i~tc)

і

d : f o y . — *

( i - v

\

»

yit-1

I

П р е д л о ж е н и е

1 .5 .

Пусть

S >

. Тогда

1

Н Д1 оі4, et- С G)

*

<£ ,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Очевидно, теорема носит

положить, что многообразие

X является Ѵ\. -мерным векторным

- 169

-

V

пространством |R

, а цилиндр С есть

И+1 -мерное векторное

пространство

Ю^ f1

ІК

Далее,

поскольку финитные функции плотны в пространстве

Н s 'jf 0L4 J-

> то

нУнное неравенство

:

достаточно получить на функциях с компактным носителем,

что

было сделано (и в более общем случае) в главе Ш.

О п р е д е л е н и е

2 .5 .

Общим формальным (дифферен­

циальным)

г р а н и ч н ы м

о п е р а т о р о м

называется

формальная композиция

А о V

дифференциального

выражения

D

и элементарного граничного опе­

ратора

J .

П р е д л о ж е н и е

2 .5 .

Пусть Т) -диііхЬеренциальное

выражение порядка

nt- с гладкими коэффициентами. Тогда.если

S > пх і

Jit*

у

то формальный граничный оператор

J о 2>

опре-

а.

И

S

/

j . , .

С

с )

.

Д о к а з а т е

л ь с т в о .

Следует из непрерывности

сомножителей

Т) и

сі .

Пусть

^

0

^

,

£ )

-