Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

Jm 7?- к C

}C&rА .

Теперь конечномерность

J w R - n

следует

из

фредгольмовости

оператора А •

Докажем еще, что

Р- к - ц

конечномерный

оператор. Из

(1 6 . I) и конечномерности оператора

R -*

следует, что

последовательность

'

А х ^

І

н а п о д п р о с т р а н с т в е

і

и м е е т н е б о л е е о д н о г о р е ­

Д

ш е н и я . в с и л у л и н е й н о с т и о п е р а т о р а

Д

о т с ю д а с л е д у е т , ч т о

R - 4 .

п о л у ч а ю т с я р е к у р р е н т н о . Т е о р е м а І . І д о к а з а н а п о л н о ­

с т ь ю .

§• 2 . О п е р а ц и о н н о е и с ч и с л е н и е .

П у с т ь j - ( i )

I . О п р е д е л е н и е

і Ы Л п р е о б р а з о в а н и я Ф у р ь е .

- к о м п л е к с н о з н а ч н а я ф у н к ц и я а р г у м е н т а

" t

, о п р е д е л е н н а я и а

в е щ е с т в е н н о й о с и : " t G £ ^ . Ч е р е з г = 6 * - г " Г

мы б у д е м о б о з н а ­

ч а т ь к о о р д и н а т у н а к о м п л е к с н о й п л о с к о с т и

(Г . В ы б е р е м н а п л о с ­

к о с т и <Г

н е к о т о р у ю п р я м у ю , п а р а л л е л ь н у ю м ни м ой о с и : R e g l e t

и з а ф и к с и р у е м е е .

Ф о р м ал ьн ы м

- п р е о б р а з о в а н и е м

О п р е д е л е н и е .

Ф у р ь е н а з ы в а е т с я о т о б р а ж е н и е

Й П

"

J

,

с о п о с т а в л я ю щ е е к а ж д о й ф у н к ц и и

к о м п л е к с н о з н а ч н у ю ф ун к ц и ю

^ ( Ъ ) - I

с ѵ )

н а п р я м о й

Р е . £ = - « * .

о б р а щ е ­

П р е д л о ж е н и е

І . І .

( ф о р м у л а

н и я ) .

У р а в н е н и е

Д о к а з а т е л ь с т в о

н е м е д л е н н о с л е д у е т и з

с о о т ­ *

в е т с т в у ю щ е г о д о к а з а т е л ь с т в а ф о р м а л ь н о й ф о р м ул ы о б р а щ е н и я

д л я

о б ы ч н о г о п р е о б р а з о в а н и я Ф у р ь е .

О б о з н а ч и м

ч е р е з

2 . У н и т а р н о с т ь ' o L V п р е о б р а з о в а н и я Ф у р ь е .

Н

п р о с т р а н с т в о Б а н а х а ф у н к ц и й н а о с и

~t

с н о р м о й

I{ ІІ^

=

^

U2'-^ft)|J

i

< 1 7 . 1 )

I

а ч е р е з

п р о с т р а н с т в о

L

ф у н к ц и й н а п р я м о й ß t Z - Ы . '

I

А

,

О т м е т и м , ч т о ф у н к ц и и и з к л а с с а

С ѵ № * ) - ф и н и т н ы е б е с к о н е ч -

р о д и ф ф е р е н ц и р у е м ы е ( г л а д к и е ) ф у н к ц и и о б р а з у ю т п л о т н о е м н о ж е с т в

Э п р о с т р а н с т в е Ц ^

, т а к ч т о э т о п р о с т р а н с т в о м о ж ет б ы т ь п о ­

д у ч е н о в р е з у л ь т а т е з а м ы к а н и я ф у н к ц и й и з к л а с с а

м е с т о и д л я

!•

jjo . н о р м е

( 1 7 . 1 ) . А н а л о г и ч н о е

у т в е р ж д е н и е

и м е е т

д р о с т р а н с т в а

. Т а м в к а ч е с т в е п л о т н о г о м н о ж е с т в а с л у ж и т

і

п р о с т р а н с т в о а н а л и т и ч е с к и х в н е к о т о р о й п о л о с е

d <

ф у н к ц и й ( ч и с л а d

и Is

п р о и з г о л ь н ы ) .

- п р е о б р а з о в а ­

П р е д л о ж е н и е

2 . 1 .

Ф о р м а л ь н о е °*-

н і е Ф у р ь е о п р е д е л я е т н е п р е р ы в н о е о т о б р а ж е н и е

F *

■

H i

—

■»

Н *

Д о л е е т о г о , э т о о т о б р а ж е н и е у н и т а р п о , т о - е с т ь с п р а в е д л и в о

д л е д у ю щ е е р а в е н с т в о ( П а р с е в а л я )

\ l^ - w

2

„

ІА *.

l-t

R1

l'e

ße.z--A

Д о к а з а т е л ь с т в о

^немедленно следует из унитар*

ности

обычного

преобразования Фурье.

3.

— преобразование Фурье в пространствах Соболева.

Пусть

ЛС -

натуральное число. Обозначим через f-Іщ,* простран­

ство

функций

на

оси t > полученное в результате замыкания мно­

жества финитных и гладких»функций

по норме

I

f

U

*

-

/

j

Г

У

5

IR

где

через

£

А )

мы

обозначили

* -ую производную функции

•

Через

Ніч,о<о(.

мы

обозначим пространство

ф у н к ц и й на пря­

мой

Re2 -

Л

,

имеющих конечную норму

f i t , *

■ ( J-

см‘чу»и*У'

'Pta-e.A-

3 . 1 .

Ф о п м а л ь п о е

- п р е о б р а з о в а н а !

П р е д л о ж е н і е

Ф у р ь е о п р е д е л я е т н е п р е р ы в н о е о т о б р а ж е н и е

I у.

/\

F

A - :

И

И К,Л

M

“{ С -

\ і

Е 1

«

J I

ігГ 4<«N* =III С,Г .

R

Нике иы

будем пользоваться

другой

(очевидно, эквивалент-

ной)

нормой

в пространстве

J-J

/Ч

л

і

( -И Ш

ѵ)

l

3« IM, «L

Унитарность

оператора

сА

-преобразования Фурье дает

способ нормировки пространства

Н mj л

в терминах(унитарно)

эквивалентного

емуѴ пространства

Н<н|ві.

• Заметим теперь,

• что в пространстве функций на прямой

сА можно ввести

структуру пространства

Ms.<*

Для люёого

вещественного s :

■ M l , * -

f J O l O ' l ? W I U t ) i .

Определим теперь для любого S

нормированное простран­

ство

Н s, л

функций

на оси

В 1 ,

полагая