Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

' н а ф у н к ц и и , о п р е д е л е н н ы е ( п о - п р е ж н е м у _ ) н а о с и

" t , н о п р и н и м аю ­

щие

з н а ч е н и я

& к а к о м - л и б о

б а н а х о в о м

п р о с т р а н с т в е

Е

с н о р м о й

f

:

н а д о

лиш ь в с ю д у

з а м е н и т ь

м о д у л ь

ф у н к ц и и

( н о р м у

в

к о м п л е к с н о м п р о с т р а н с т в е

fl.

) н о р м о й I

д а н н о г о б а н а х о в а

п р о с т р а н с т в а

Е

. Н а п р и м е р ,

п р о с т р а н с т в о

E l s/0t

ф у н к ц и й

с о

з н а ч е н и я м и в п р о с т р а н с т в е Е

о п р е д е л я е т с я к а к п р о с т р а н с т в о

ф у н к ц и й

П р й tf é р 4 й у с т ь ^

- г л а д к о е з а м к н у т о е м н о г о о б р а з и ѳ 4

В ы б е р е м й а м н о г о о б р а з и и ^

н е к о т о р у ю р и м а н о в у м е т р и к у ,

з а ф и к ­

с и р у е м е ё й р а С 6 й О ? р я й ( п о л о ж и т е л ь н ы й ) о п е р а т о р Л а п л а с а

Д .

п р о с т р а н с т в о ф у н к ц и й н а м н о г о о б р а з и и

X

к а к п р о с т р а н с т в о

С о б о л е в а п о р я д к а S

с н о р м о й

З д е с ь

d ЭС - ф о р м а о б ъ е м а н а м н о г о о б р а з и и

X

»

о п е р а т о р

'l - t А

- п о л о ж и т е л ь н ы й , с а м о с о п р я ж е н н ы й о п е р а т о р

и е г о с т е п е н ь к о р р е к т н о о п р е д е л е н а .

П у с т ь т е п е р ь

£

= . X у ^ 1 - ц и л и н д р . Т о г д а ф у н к ц и и

^ 6*гк)

}

имею щ ие

п р и

к а ж д о м

з н а ч е н и и

~t

к о н е ч н ы й

и н т е г р а л

( 1 8 . I ) , н а ц и л и н д р е С

м о ж н о р а с с м а т р и в а т ь к а к ф у н к ц и и н а

о с и ,

приним аю щ ие

з н а ч е н и я

в п р о с т р а н с т в е

С о б о л е в а

Н Я £ Х ) ,

( - ( s .o -

О п р е д е л и м д л я в е щ е с т в е н н о й п ар ы ( s , е ( )

п р о с т р а н с т в о

.п о л а г а я

S,oL

(

Re г- ^

u i 1) 1'

f

c

*

1

1

К

1+а +

Н иже

мы

б у д е м

п о л ь з о в а т ь с я

н е с к о л ь к о

б о л е е

тонким

п р о с т р а н с т в о м

-

п р о с т р а н с т в о м H s ,

if)«*-

, г д е

(s, (ft * )

- в е щ е с т в е н н а я т р о й к а .

Э т о

п р о с т р а н с т в о

ф у н к ц и й

-fCxi-fc)

с н о р м о й

«

И . , , , *

-

f

\ І О

') 1

«»*

^

U t e *

Для

S > о

эта

норма

эквивалентна

следующей

H

f l l i . =

К

К fils* '-

'* 1 '

U t e *

5 . Пространство

П

Введем теперь

простран­

ство

Н s ,

д +-;eL. Сс .)

для

вещественной

четверки чисел

( S ,

?Г,

) . Пусть вначале«^-натуральное'число

и s>(?

Тогда

пространство

Н $, у,

„ц.. [С.)

-

это пространство

■

распределений

на

цилиндре

С ,

полученное

в результате

замыка­

ния гладких,

финитных функций

по норме

I {

С

,

(J K U <- II f

о

^

0

+

j e ”

* *

(

II

fII

s

+

II

.

—sA

Здесь

через

.мы обозначили

^

-ю

производную

j

функции по

"fc .

Более

компактно,норму

в пространстве

И s> І, сЦ

можно

записать, если ввести

кусочно-постоянную функцию

f

^ +

, 1 7 - 0

c t ( t )

=-

’

>

d- , t *О

V.

В этом

случае

=

Т е 1'*’ * (

Лf l<A4

yf)a

Для того, чтобы, чтобы определить

пространство

И S,

для

произвольной

четверки

(

$, Ыі,

Ы-)

ыы введем

Г f Ш

0

)

^

о>

=

у

f Ш

, t

<

О ,

A J

Если

теперь через Ѳ "

обозначить

образы

операторов

Хевисайда

при

*-±

-преобразованиях Фурье,

то

пространство

И S, у , 0^4 , оі-

естественно

определить

как

замыкание множества

аналитических,

убывающих при

±

<>о

функций по

норме

^ ^

<а _ =

j J Ѳ + ( ' l ^ А

+

^

-f

R e ^

+ f t f -

C U A * \ & f )t ( L^ ' ^ | 0 d £ .

ReZr-o*-

При этом,

как легко видеть,

в случае

если

о* _

< <d +

преобразование

Фурье

-f [ъ)

функций -f-

ё

Н s/

d u,d -

явля“

ются аналитическими функциями в полосе

d -

< Pt Z-

*

г

1

-

г

і г'

^

где

і,

-t

^ а

,

І

о

,

± < ~ і

;

0 ,

-t

>

i

,

V

* ) - -

1 ,

-t

<

<:

' . 1

Это разложение единицы порождает разложение произвольно!’

функции -f£rrér)

на

дв^ слагаемых

І (* г Ь ) =

<fü

±

4- fr

f

~

Fi С * +)

+ Fj- (x' é ) ,