Файл: Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов.pdf

EJ (х) dt-

— (Ут-2

' ^Ут-1 + 5Ут-1 ~

4//ш+1 + 1/от+г)Х

1

(53)

Х д ^ + б

E j\l)d t2

+

+

X

r^T'b'ir

с п м

~йп

[^ -2 — 9(t/m_x+ t/m+i) +

j/m+a].

(54)

Дл“1

80

EJ (х)

dt2

Таким

образом,

мы

получим уравнения (52) — (54), являю­

щиеся приближениями уравнения

(23). Следовательно, уравне-

I т-7,и

5

<-m-o,s

^/n+p.s

<■т+1,5

Lm+i,s

U-m-t

U-m

tt/n+i

U-m+г

~4---UA/--f—'^KXJ---t---UUU--I—

i-jn-г

фт-1,5 i-m-i

<Pm-o,S

Ln ^Рт+в,5

Lm+1 <Pm+t,s ^m-n

Рис.

12.

Схема электрической модели изгибных колебаний

первого приближения

ния (52) — (54) с различной

степенью точности

описывают

из-

гибные колебания прямого отрезка трубопровода.

Теперь для построения электрической модели изгибных коле­

баний трубопровода

необходимо синтезировать

такие электри­

ческие цепи, которые описывались

бы уравнениями, аналогич­

ными уравнениям (52), (53) и (54).

однородные

Для

простоты

анализа

будем

рассматривать

2

366

33

и т—1

и т+1

..э

( 5 5 )

----— ® т -0 ,5 ,

*1

ср^|_о,5 —

“ ^1 -

(56)

;

;

Л'

2 .

(57)

^ т — 1.6

2,5 —

° 1 .

»

а"С

*w—1

hn—2_

(58)

кг

L', кг

Ь

Ci jpnr

Ci

0~

^Z

Lt

Li

t-l

_ гчпп—

—n n r \_

__nnn--- —nnrs____

X ,

L3 С^

L3

L3 C &

L3 C'3± ,

Рис. 14.

Схема

электрической

модели изгибных колебании

третьего приближения

Уравнения

(55) —(58) так же, как и

уравнения

(53), запи­

саны в центрально-разностной форме.

Записав

аналогичные

уравнения для пяти узлов цепи

(см. рис.

12) и решая совместно

ния в узле т по времени с напряжениями в узлах т—2,

т + 2

цепи:

'

— k-lLiC1 ^ — ит~2 — 4«,„-i -f 6ц,„ — 4дт+1 -)-ит+2.

(59)

k\LiCJ 1—

—

— 4кт+1-|-ит+2)-|-

- k \ L 3Cз

d-U-m

ctx2

~d& [ W m _ 2 _ ( 4 ~ ~Pi )

+

+ ^ + 2]’

Таким

образом, электрические цепи,

изображенные

на

рис. 12—14, описываемые соответственно

уравнениями

(59) —

(61), могут моделировать уравнение (23) с

точностью,

опреде­

ляемой степенью приближения уравнений (52) —(54) к

уравне-;

нию (23).

Теперь необходимо найти соответствие между

вели-'

чинами, входящими в уравнения (52) —(54)

и (59) —(61).

жения;

уравнение

(53) — вторым приближением, цепь (см.

рис. 13)— моделью

второго

приближения; уравнение (54) —

третьим

приближением, цепь

(см. рис. 14)— моделью третьего

приближения.

ведению EJ Дл4 соответствует произведение k\L1C1

. .

ИЛИ

x ^ C ^ k l

(62)

2*

35

а

Ал1

где величина роЛя имеет размерность массы;-------- размерность

податливости.

EJ

входящими

Для того чтобы установить соответствие между

в соотношение (62) величинами,

введем постоянную величину,

характеризующую колебательные свойства

прямой

однородной

трубы. Эту величину будем

называть волновой

податливостью

и вычислять следующим образом:

ду

сШ

dt

dt

(63)

QM

Податливости Ум будет

соответствовать

некоторое электри­

ческое сопротивление Z0,

характеризующее

распространение

волны напряжения в цепи

(см.

рис. 12).

Соответствие между

входящими в соотношение (62).

Ум через параметры

Для

того чтобы

раскрыть значение

трубы, представим решение уравнения (23)

в общем виде

у — exp (jwt) [ Ахехр ( — kx )-f- А2exp {kx)\

(64)

и запишем известные из теории упругости соотношения

_d>y .

(65)

0 = -

дх

М = - E J д0_

( 66)

дх

Q = H ^ l f l dX-

(67)

о

Подставляя

выражение (64) в уравнения

(65) —(67),

получим

0 =

£exp(yW) [ — Л!ехр( —kx)-\- Аг ехр (Але)];

(68)

— ==/'соАехр(уи^) [ —Лхехр( — kx)-\- Ачехр(&*:)];

(69)

dt

^

=

yu)exp (yW) [ Ахехр-( — kx) -f А2 exp {kx)\\

(70)

М =

—kPEJ ехр(у'о)/) [Л1ехр { — kx)-\- A2exp(kx))\

(71)

Q = lLo “

exp(yW) [ — Axexp( — kx)-\- Аг exp {kx)\.

(72)

k

Выражение

для

податливости Ум получим после

подста­

новки выражений (68) — (72) в уравнение (63):

Y

(73)

^0= 1/

(74)

/1

В

К

z c z A

2 ( Z C ._ + z 3 ) + 2 Ci + Z

^nxl = ^C ,= -

(75)

К

'Z.Q

Z~+ 2

{Zc'- + Za) + Zc +Zo

C,

2

7

/!K

Z2_ / _ _ J ____\

т

Zo

1_____)

Z0 = l/Z 2Z.

~ + zT V1 +

2z,

(77)

z *z ^ *

4 + Z 3 Vl + Z c Z - 1 / a

Предположим, что Z0= ] / Z 2Z3. Тогда из соотношения

(77)