Файл: Вопросы технологии машиностроения и радиотехники [сборник статей]..pdf

Во втором случае (<а->-оо) необходимо учитывать увеличение мощности при переходе от момента диполя к изучающей мощно­

сти. В формулах появится множитель пропорциональный

В .заключении автор благодарит С. И. Брагинского и В. Р. Пе­ тухова за консультации.

Б. А. БОРОВИНСКИЙ

СПОСОБЫ АППРОКСИМАЦИИ ГЕОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАЗРЕЗА

Способов аппроксимации функции o(z) и e(z) при z^O су­ ществует бесконечное множество. Поэтому, выбирая тот или иной способ аппроксимации мы должны руководствоваться тем, чтобы этот способ был наилучшим для наших последующих

Для того, чтобы получить решение этого уравнения в гло­ бальном плане (т. е. при всех z) в виде одной аналитической формулы необходимо принять, что a{z) и e(z) например, целые функции (разлагающиеся в ряд при всех комплексных z) тогда и решение согласно теореме Коши будет целой функцией.

Итак, пусть a(z) и e (z )— целые функции. Тогда согласно теореме Вейерштрасса они могут быть сколь угодно хорошо представлены в виде конечной суммы.

т

где Pm{z) и Qm(z) некоторые полиномы.

Заметим еще, что максимумы, минимумы и точки перегиба (s(z) и a(z) характеризуют существенные электрические свой­

чим более подробно поведение каждого из этих слагаемых. Для этого докажем следующие теоремы.

Теорема 1. Число точек перегиба ровно на два меньше степе­ ни полинома, если все корни вещественные и различные.

Доказательство: Действительно тогда, как легко видеть, между двумя соседними корнями есть либо точка максимума, либо точка минимума (теорема Ролля).' Следовательно, если

165

степень полинома п, то число точек Макс, и Мин п— 1, а так как между точкой Макс, и Мин. лежит точка перегиба, то число то­ чек перегиба п—2 ч. т. д.

Теорема 2. Для произвольного многочлена число точек пере­ гиба по крайней мере на два меньше степени многочлена.

Доказательство: Некоторые корни могут быть кратные или комплексные, что, вообще говоря, уменьшает число точек пере­ гиба ч. т. д.

Следствие 1. Число точек перегиба для любой дважды глад­ кой функции больше либо равно числу точек Макс, плюс число точек Мин., минус единица.

Следствие 2. Для любой дважды гладкой функции число то­ чек Макс, не более чем на единицу отличается от числа точек Мин.

Следствие 3. Для полинома число точек Макс плюс число точек Мин меньше или равно степени полинома мийус один.

Теорема 3. Число точек Макс, а также число точек Мин соот­ ветственно у полинома Р(х) и ер(л:) совпадают: И более того, Макс Р(х) соответствует Макс еР(д:), также и с Мин'

Доказательство: Рассмотрим производную: (eP(j:>)/= e PW/ >^

из этой формулы следует, что еР(д:) в нуль не обращается и поло­ жительна если Р'(х) определенным образом меняет знак при переходе точки экстремума, то эта точка экстремума будет и у ер(*) и (epW)' при переходе через эту точку меняет знак таким же образом ч. т. д.

Теорема 4. Число точек перегиба у ер(ж)не меньше чем у Р(х) и не больше чем степень Р (х).

Доказательство: Так как Макс и Мин у Р(х) и ер(х) совпада­ ют, то число точек перегиба не меньше чем у Р(х). Однако но­ вые точки перегиба могут образоваться лишь за счет того, что при Р(х)->— °°; е+Р(д:) асимптотически стремится к конечному числу (нулю).

Пример: у = —х2 не имеет точек пёрегиба у у = е ~ л:* имеет две точки перегиба

Заметим еще, что хорошая аппроксимация разрывной функт ции, в том числе ступенчатой может быть получена лишь поли­ номом достаточно высокой степени, поэтому ступенчатые функ­ ции желательно аппроксимировать другими способами (слож­ ный разрез).

Для разрезов типа Н, К, Q, А, Б, С наиболее удобна и впол­ не достаточна для целей упомянутого вида аппроксимация сле­ дующим выражением:

f(z) = A + (B + Cz + D z 2 + E z ? + F z4) е“ +рг!

Например, рассмотрим двухслойный разрез (тип Б или С). Ясно, что кривая, изображенная там, определяется четырьмя параметрами: значением функции и ее производной в нуле, точ­

.166

кой перегиба и горизонтальной асимптоты. Следовательно, f(z)

имеет вид: f(z )= A + (B + C z )e “2

Подставляя сюда f (0) = cri; f(° ° )= 02; f '(0) = y: J,,(hi)==0

получим:

Для разрезов типа К и H аппроксимирующая кривая опреде­ ляется шестью параметрами: значением функции-и ее произ­ водной в нуле, двумя точками перегиба, точкой максимума (минимума) и горизонтальной асимптотой. Уравнение аппрок­ симирующей кривой имеет, например, вид:

f(z) = A + (B + Cz + Dz2 + ez3)e~az

вычисляя их получаем А = 03; В = 0Х— о3; а С, Д и е выража­ ются через а для которого в свою очередь получаются уравне­ ния шестой степени.

Во всем предыдущем изложении мы не пользовались тем фактом, что значения функции f(z) в точках экстремума и зна­ чения f(z) и f'(z) в точках перегиба были известны.

Если же значения f(z) и f'(z) известны в точках экстрему­ мов и в точках перегиба, то степени полиномов в выражениях Р(х) eQ(*> будут выше, чем предложенные раньше.

Действительно, для кривой типа Н, К, известны f(0); f'(0); f(h™ *,)=0 f(hl); f'(lu); f//(h1)= 0 ; f(h2); f'(h2) f"(h2)= 0 ; f(- )

Следоват’ольно, аппроксимация должна иметь вид:

!(г) = А + [У1Акгк) eaz+^

8

или f (z) = A + [У] Вк zk) e“‘z ft= 0

Для кривой типа Q или А известны

f(0); f'(0); f(h,); .fiflij); r'(hi)-=0; f(h2); f'(h2); f"(h2)= 0 ; f(h3); f'(ha); f"(h3)= 0 ; f(oo)

Аппроксимация должна иметь вид:

= ^ +

fe= 0

либо

k=0

167

Для кривой типа Б или С известны f(0); f'(0); f(h i); f'(hi); r (h ,)= 0 ;f(o o )

Аппроксимация будет иметь вид

f(z) = A + (B + Cz -I- Dz2 + Fz*)eaz

либо

/ (z) = A + (B1 + C,z + DjZ?) ea'z+№

В данном случае A = f(o o );B = f(0) — /(oo)

C = — a (/ (0) — f (oo))

«Д» и «F» находятся через a, которое в свою очередь, удовлет­ воряет трансцендентному уравнению.

Б. А. БОРОВИНСКИИ, В. Р. ПЕТУХОВ

СТАНОВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПРОВОДЯЩЕМ ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрим поле магнитного и электрического диполя в од­ нородном проводящем пространстве с волновым числом

Если момент диполя трактовать, как интегральный оператор

р“=^ г Р <а,е'",'А’

компоненты поля можно представить в виде а) для электрического диполя

+j*А (со) еш e~‘krсоЯш|

168

б) для магнитного диполя

+|Л(со) eiale~ikrk4w\

Нахождение компонент поля в свою очередь сводится к взя­ тию интеграла

Предполагая, что А (со) достаточно гладкая функция со, раск­

ладывая А (СО) И Q ~ irV “ ’’M.e+fWM.e

по формуле Тейлора, для первого интеграла имеем представле­ ние А |со |e~lkrв виде ряда

Л И С- & - и т 2 ( ю* У ;4 1 ^ г ^ +

169