Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

Однако при реальных вычислениях величина U задается при­ ближенно. При этом величина Ra по мере уменьшения а убывает до определенного предела, а далее резко возрастает. Таким обра­ зом, существует оптимальное значение параметра а, минимизи­ рующее невязку уравнения (34).

В нашем случае, т. е. при решении системы (20), роль параметра регуляризации играет величина, обратная числу координатных функций N. Таким образом, зафиксировав N, мы с самого начала решаем регуляризованную задачу. Однако величину минимальной невязки, соответствующей оптимальному N, можно еще умень­ шить, введя вспомогательные параметры, позволяющие без боль­ шой затраты труда значительно повысить эффективность алго­ ритма.

Ниже изложен один из приемов такой добавочной регуляри­

грал первого рода; и гр — параметры, определяемые в процессе приближения из свойств BM,L.P', bt — множители, определяемые,

наряду с ф^ѵ), из условия минимума Bm, l , p• Смысл указанного вспомогательного приема заключается в следующем: Fм — потен­ циал системы кольцевых источников интенсивностей Ь( с коорди­

(п — нормаль к D) велика в соответствующих точках. Физически это означает большую поверхностную плотность заряда. В этом случае целесообразно выделить потенциал системы точечных заря­ дов, расположенных вблизи данной особенности, но вне области. Данный прием органически вытекает из метода доказательства теоремы, подробно рассмотренной в приложении 1. Система коор­ динатных функций при добавлении функций вида (35), разу­ меется, перестает быть минимальной. Однако этот прием повышает устойчивость систем уравнений, которые в указанных случаях плохо обусловлены.

Алгоритм выбора заключается в том, что кольцевой заряд помещается на нормали, внешней к границе.

22

Если S 0 — точка пересечения нормали с границей, то расстоя­ ние h, на которое кольцевой заряд удален от границы, опреде­ ляется по формуле

Такой выбор h, как показали численные эксперименты, позво­ ляет наиболее точно аппроксимировать точечными зарядами быстроосциллирующие функ-

Эффективность алгоритма можно проследить на приведенном ниже примере. Решение граничной задачи отыскивается в осесим­ метричной области D, которая изломами границы показана на рис. 2. График граничной функции F (s) приведен на рис. 3.

Коэффициенты ер*1* и ф*2* для данного случая равны нулю. Число коэффициентов Ьп увеличено до 20, благодаря чему по­ грешность граничной функции на границе не превышает 0,001.

На рис. 3 показана сходимость по N и М последовательных приближений, производимых машиной автоматически по заранее заданной максимальной невязке в граничном условии. При этом в 1-м приближении М = 10, N = 0, во 2-м М = 10, N = 8,

в 3-м М = 10, N = 20.

Все вычисления проведены на машине БЭСМ-4. Указанный пример потребовал 15 мин машинного времени.

Применение обобщенных сумм. Перейдем к другому методу повышения точности рассматриваемого алгоритма. Известно, что

23

суммирование ряда Фурье, к которому сводится система функ­ ций (19) на боковой поверхности цилиндра, вообще говоря, яв­ ляется процессом нерегулярным. Поэтому для улучшения сходи­ мости ряда полезно применять один из методов обобщенного сум­ мирования рядов, а именно метод суммирования по Фейеру [57]. Такая процедура может улучшить результат вычислений факти­ чески без заметного увеличения их объема. Приближение к реше­ нию суммами Фейера первого порядка имеет вид

Z

Рис. 4. Меридиональное сечение электродов элект­ ронной линзы

где

N

Un (г) = 2 ФяЛ (-рТГог) sln f - a <г ~ а)-

т=О

Сходимость к граничным условиям при суммировании по Фей­ еру решения в области, изображенной на рис. 4, показана на рис. 5.

Использование параметра регуляризации. Рассмотрим еще один широко распространенный [65, 66, 1, 49] вид регуляризации, используемый в электронно-оптических расчетах. В цилиндре решение задачи (3) по-прежнему приближают с помощью коорди­ натной системы функции (19).

Запишем задачу приближения в форме операторного уравнения

где Ац и Д имеют тот же смысл, что и аналогичные им величины Ьи и сг в выражении (20), причем выражение (37) можно для кратко­ сти представить как конечномерную запись операторного урав­

Однако для получения решения в заданном классе гладкости коэффициенты фуопределяются из условия минимума функционала

м

В* [ф (а), /] = Вм + а £ qkq>l (а), (39)

ь=\

24

где qk > О — весовые множители. Это, в отличие от (21), приводит к системе

Изменение множителя а, как видно из (40), позволяет менять определитель системы. Функционал (39) минимизируется при убы­ вающих а, после чего строится последовательность (а), в ко­

торой выбирается элемент <рА(а), минимизирующий Вм [ср (а), /].

Рис. 5. Приближение потенциала на поверхности элект­ родов

рационными процессами и процессами усреднения погрешностей [49, 57]. Тогда приближенное решение уравнения (34) предста­ вится как

Ф («о, “ і, • • •, а*) = Ф(0) («о) — Ф(1) Ы Н---------- Ь ¥ к) Ы - (41)

Здесь в качестве нулевого приближения ф<°> (а0) принято реше­ ние, минимизирующее Вм [ф (а), f]. Каждую т-ю из последую­ щих поправок, т. е. ф<т >(ат). получают либо минимизацией функ­ ционала (39), либо, что равносильно, решением системы (40). В первом случае вместо функции f подставляют некоторую функ­ цию /<т- О (s, ат_г), выражающуюся через невязку уравнения

25

в а [фт(ат), / (т_1)]. Затем производят усреднение в окрестности ат согласно (43), где интеграл заменяют суммой по точкам, в ко­ торых подынтегральные функции уже вычислены. Величины hm и Ьт подбирают в процессе вычислений. Усреднение невязок необ­ ходимо потому, что их величина в значительной мере определяется погрешностями вычислений, т. е. содержит случайную компоненту. Или, иначе говоря, функции / (т) нужно на каждом шагу вводить в класс УѴ„, являющийся Л-отражением компакта гладких реше­

ний М 0.

При этом число точек усреднения должно по мере увеличения числа итераций непрерывно возрастать. Рассмотренные алго­ ритмы применимы и для регуляризации других общих методов вычисления потенциала, например для решения уравнения (5).

Использование двух параметров регуляризации. Опишем еще один метод построения регулярного процесса приближения потен­ циала функциями гармоническими в расширенной области. В слу­ чае цилиндра, например, это — функции (19).

Решим, как и раньше, задачу (3) для осесимметричной обла­ сти D. Выберем внутри области на оси в меридиональном сечении нулевую точку отсчета и, приняв ее за центр, введем в этом сече­ нии полярную систему координат (г, Ф). Тогда границу S в данном сечении можно описать уравнением

26