Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

„

N

7 / knr \ •

kn (г — а)

V 4

Fn =

2 j

sin

, ß _ a— + аг + Ь,

=

» - > ,

2 . . . .

Тогда

{/„} минимальна в С° (G).

существует пи— такое,

что по всякому

Предположим

противное; тогда

8 > 0

может быть

найдено {сх*е}о»

удовлетворяющее неравенство

2

(я.

г>|

<*•

k + n«

| с

(ÖG)

Но тогда

fno К

2) -

S

("О- 2) I

< e>

кфп°

||c(Q„)

где

Qo — отрезок, образующий

цилиндр

с

радиусом

га. Из этого неравенства

следует неминимальность

системы

{sin плг}

в

С (G),

что неверно.

П Р И Л О Ж Е Н И Е .3

ДОКАЗАТЕЛЬСТВОРЕГУЛЯРНОСТИАЛГОРИТМАСШИВАНИЯ

ГАРМОНИЧЕСКИХРЕШЕНИЙ

Требуется найти U (р), если р £ м =

Rs\

S; АU =

0, причем U (р) убывает

на бесконечности не медленнее, чем 0 (1/ I г |);

U \s =

F (s).

Строим

— гармоническое

приближение U в

метрике С (со), т. е. по

заданному 8 пытаемся найти такое

(в), чтобы удовлетворялось неравенство

I U — (/(М) ||с (и) <

8.

(400)

Пусть и т)

Um (Р).

р £

“ П

(401)

Уѵм {р),

р£

м2.

Из теории гармонических функций известно [73], что для выполнения ус­

ловия (400) необходимо и достаточно выполнить условие

II и — и м\с ( S )

+

I UM — Ѵм |с (So) +

д£м

1д м \

< е

(402)

дп

дп | | c ( S „ )

где

S 0 — поверхность

сшивания (рис. 47);

8 > 0 .

S 0

задано Л4 функций си­

Пусть, согласно формуле (24), на поверхности

стемы Фа (р),

полной в метрике С (S0), где р £

S 0. По

[21 ]

м

м

Um = u0+

£

Ск11к’

Ѵм =

ѵ0 +

£

ckvk.

(403)

k=l

еЛ

(S„) < Г ( Л Г + Т ) ;

\\uk -1 k ic

8/4

(404)

(S) < 3 ( Л Г П ) ;

\uk ~ vk Ile ( S 0 U S )

< з

8/4

>

( М +

!)

где к — 0, 1, 2, 3, . . .; f0 — F (s);

/& =

0;

А — постоянная.

(405)

Выберем

конический слой

Q ши­

риной 2км, окружающий поверхность

S 0

и имеющий прямоугольное

сече­

ние,

для

которого след S 0 — средняя

линия (рис.

47).

Обозначим

Q П ®2 =

ffl4(

®j \ ^ 0 =

^4’ I

(406)

Q П ®1 =

®з!

® з\ “Sg =

I 3- I

Вследствие гармоничности ик и ѵк

существует такое, См, что

д2ик

1

дъѵк

См.

д

п 2 С(к>,) ’

II

d n 2С(со2) <

(407)

для всех ÄjcrM. Тогда

(р) = «* (р) I? е г, = ф*(р) + ч(р)>

(408)

где

IMP) ||с (Гз)

k ^ M ’

и аналогично

fl (р) = ѵк (р)\р е г. =

(р) + rk (р);

(409)

II rk (Р) ||с (Г 4) ^ A 0hM-

Если значения радиальных координат точек Р 0 и Pt

(рис. 47) отделены от

I

knx

,

, „

,,

= sin —р

, Ä =

1,-2

......... М,

где X — текущая координата

вдоль

образующей

S 0> причем отсчет ведется от

точки р 0; I — расстояние (р0,

р4).

t>nk

i

\

-Qk (x, A)] sin

dx.

{qk(x)-

Аналогично для

(hMM+'

± k n

»)y)

.

«я

у

к

knx

VNk (X, у)

l

. к я х

,

l

T------ Sin —

-1----- j~r-

Sm /

knh ,,

knhM

sh~

r

sh~ ~ r

M

X

s h ^

.

nnx

,

n k ,

.

I

I

’"‘ >

T

sinT

^

(*’ v)'

s h ___M

где Qk (x, y) — полином, гармонический в co3

U ш4 и удовлетворяющий условиям

1)

Qk (Po) =

qk(Pa)\

4) Qk (Pi) = r k (Pi);

2)

Qk (Pi) =

9* (Pi);

5) Qk(pa) =

fk (Po);

3) <2* (Рз) =

rk (p,);

6 ) Q* (p,) =

/* (Pl).

Ввиду непрерывности qk (x, Іім) и гд, (X,

Аді), а также в силу законов спрям­

ления и теоремы главы I можно выбрать такой шаг спрямления и такую точность

гармонического приближения

Vk,

Uk на S 0,

чтобы при этом

I

Vif - и äI|C(ü>3) <

eAihM

48 (М -)- 1) С

8АХАм

м

(410)

Ѵ ? - ѵ ь

’

fellc«o1) <

48 (A4 -}- 1) Си

м

где A t — постоянная. Тогда в силу (407)

V ду

э ѵ ? )

(dUk

дѴк \

C(S„) <

8,4jAм

(411)

ду

J

\

дп

ап /

6(М+ 1)'

И А. Г. Власов

161

\ bkn\>

I bkn I < ° 0 AAf>

(412)

где D 0 = max

(Л0, B0); n, k =

1, 2, 3, . . Л4.

Из выражений для 0% и

выводим

дѴІ

ди:

л

knh,.

2k

. knx

ду

ду y=0

= - ^ - l

2k cth — г м

+

- кяк'М

Sin—;-----

I

I

l

sh •

----- tlTtX

s in — -j—

X

Д

(413)

dVNk

и

диЫ

М) — непрерывные и антисим-

Поскольку — —

(k = 0, 1, 2,

ду

“

ду

а« = 7й-

(416)

Учитывая (413), определим с* из системы

м

Рм/гС/г •

кя

кщ ukm

ст = амк,

k =

\ , 2 , . . . , M ,

(417)

~Т

sh

kjihfyf

2

где

m= 1

PAf* =-y- ^ C t h ^ i

2 /e

knllM

sh

VMk - t K

du0 (x, C) öu0 (X, 0)

\

клх

dy

) sin

r

o