Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 88

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

G =I If(x4 )cix o/^-j -j

Jy. • t l x .

(І .З І )

 

 

-<x> L.M

 

 

После дифференцирования no

Z

 

a*

 

 

^ (1.32)

у(г')ж f(x ,z - x )d x - G (г)

Это общая формула для плотности распределения суммы

Двух случайных

величин.

 

Для независимых случайных велі.чин двумерная плотность

вероятности

 

 

 

.

(і.З З )

С учетом этого плотность вероятности имеет вид

ев

во

 

 

.

(1 .3 0

-ÖO

-

 

23

Практическое решение задач по этой формуле достаточно громоздко. Ілл нахождения плотности распределения суммы двух случайных велжчик удобнее воспользоваться аппарамм характеристических функций.

Характеристической функцией случайной величины X иаяралтся выражение

Г Их]

(1. 35)

ß(t)= M [e

J ;

, .^(t) можно найти, зная

закон расиредольше случайной

величины. Так, например,

если

 

 

•

*

*

Pf

P2 •

•

•

xn

Pn

те характер

ская {уи м м будет

 

2

( і ) ^ е г*к/с К -

( 1 .36)

 

к-=.і

 

 

а для непрерывных случайных

величин

 

 

 

itx

(1.37)

2 . ( t ) = ^ f ( x )P

d x •

Эти преобразования называются преобразованиями Фурье.

С помощью обратного преобразования Фурье по харак­ теристической функции может быть найдена плотность рас­

пределения

 

^

 

 

м ~ Ь ,

" И х

ß (t)d t

 

е

(1.38)

Для нормального

закона

 

 

ß (t)= e

 

(1.39)

2k

Характеристические функции имеет следующие свойства. 1. Если случайнее величины связаны зависимостью вида

У-аХ,

то их характеристические функции будут

?*(<**)•

(І«40)

2. Если

п .

ТО

п

ft

где /7 - произведение.

Пример 3. Найти плотность распределения случайной величины Z -

2 - Х + У ,

если случайные величины X и У распределена ие дер­ мальному закону с параметрами:

т х = 0

9

 

=0

j

<5^, .

Найдем характеристические функции слагаемых, для чего представим каждую случайную величину в виде

где и и сл - случайные величины с математическим

ожиданием, равным нулю, и средним квадратическим от­ клонением, равным единице; и и ^ распределены по нормальному законуі

25

. Л

2 7

.11

2 .

Всоответствии с первым свойством^

вх і

<£t* zti

2

_ Ф р - і г

Таким образом, мы получили характеристическую функ­ цию нормального закона с параметрами

 

г

-

;

0 І = в * + & *

 

 

 

 

'

- г

- * ?

 

 

 

Пример В. Составить композицию нормального закона

 

распределения и закона равномерной плотности,

если X

 

и У независимы:

 

 

_

(х-тх )г

 

 

 

 

№ > ■■

‘

-

 

 

 

 

 

 

fi~<d

 

при

 

У <*-,

у > р \

 

 

 

О

 

при

 

 

 

і

і

 

' г

^ — j

а

26S

 

е

±\e

du.

§<*> fo-d. \ e x J2Sr

 

-

4 =

 

 

 

 

(p -d .)6x ^ W

 

 

OL

26

Подынтегральная функция является функцией Лапласа и интеграл ыохно вычислить с ее помощь*:

№

і

.

J V

 

2Ср-dü

‘b i ß ' ) .

 

 

 

f( x )

 

Ветви композиционного закона распределения поднялись относительно первоначального закона нормального распре­ деления (рис.10). Величина этого поднятия зависит от соотноиения параметров первоначальных законов.

§3. Определение закона распреіеления случайных величин на осдове опытных данных.Критерии

согласия

На практике всегда приходится иметь дело с ограни­ ченным количеством экспериментальных данных, поэтому результаты обработки могут содержать некоторые погреш­ ности.

27

Статистической функцией распределения случайной ве­

личины X называется

частота появления событияХ< х в

данном статистическом

материале.

Для удобства обработки весь опытный материал делится на разряды, а затем вычисляется статистическая вероят­ ность нахождения случайной величины з пределах данного

равряда:

 

*

 

 

 

 

Р* = “

7

(1.42)

где р *

-

частота;

 

 

/7?г-

-

число случаев, попавних в пределы

і -го

п

 

разряда;

 

 

-

общее число опытов.

 

На основе этих расчетов составляется статистический

ряд

3

X х~

Х2Х3

. . . .

X

х~

*1*2

 

/?-/

ъ

к

Р,*

P f

* ' * *

р:

На практике

т і

берется

равным

5-10.

По данным статистического ряда строится гистограмма распределения (рис.11):

Г( х ,) = 0 ;

г'м -і р ;

28

Полученная гистограмма нуждается в выравнивании с помощью какого-либо закона распределения. Вид закона выбираете* на основе теоретических раееуждений или ранее полученных данных.

f(x)

Р ис.II

Количественную оценку степени согласия эмпирическо­ го и теоретического распределения можно получить с по­ мощью критериев согласия, которые являются некоторой Функцией разности этих распределений. В качестве такой Функции чаще всего используется выражение

‘' - i ' i C f r f i i ? ■

( І -43)

i=t

 

Взависимости от выбора весового коэффициента

иполучаются различные критерии согласия. Наибольшее распространение получил критерий Пирсона, или так на­

зываемый критерий

- квадрат.

В этом случае

 

29

 

 

 

\!--Ъ(р:-ю 2

 

 

( 1 . 4 4 )

 

 

 

 

 

P i

 

 

 

 

Для практических расчетов

п

вносят под

знак суммы.

Учитывая,

что

 

 

 

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( т г

п Р іУ

 

 

(1.45)

 

 

 

 

п Pi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Закон

распределения величины

^

имеет

следующий

ВИД«

 

 

г

{

 

е

2

U > 0 \

 

 

 

 

U2

 

 

 

г і г (т)

 

 

 

 

(1.4*)

 

 

 

 

 

 

С / > 0 ,

 

 

 

о

 

 

 

 

где

%

-

число

степеней

свободы,

которое

определяется

 

 

 

исходными данными и наложенными условиями.

НН практике для вычисления критерия >(г необходимо

выполнить

 

следующие действия«

 

 

 

- составить статистический ряд и вычислить моменты

предполагаемого

распределения (

т

и (э ) ;

-

по формулам

(таблицам'/

теоретического

распределе­

ния при условии равенства моментов эмпирического и тео­ ретического распределений вычислить теоретические ве­

роятности ft; попадания

случайных

величин

в соответст­

вующие разряды;

 

 

/

^ >

-

по формуле

(1.45)

вычислить

критерий

-

в таблице

распределения X*

по аргументам z и

30

Смотрите также файлы